อนุกรมของจำนวนจริง (Series of Real Numbers)

 

                ในบทนี้จะกล่าวถึงอนุกรมของจำนวนจริง   ซึ่งอนุกรมมีความสัมพันธ์กับลำดับของจำนวนจริงที่กล่าวมาแล้วในบทที่ 2   โดยเริ่มจากการสร้างอนุกรมจากลำดับดังนี้ 

                ให้  {an}  เป็นลำดับขอจำนวนจริง   สร้างลำดับ {Sn}  จากผลบวกของลำดับ {an}ได้ดังนี้

                                S1  =  a1

                                S2  =  a1 + a2

                                S3  =  a1 + a2 + a3

                                     M

                                Sn  =  a1 + a2 + a3 + ... + an  = 

                                     M

                               

                Sk  คือผลบวกของ  k  พจน์แรกของลำดับ  {an}  และได้ว่า Sk - Sk-1  =  ak  สำหรับ  k > 1

 

นิยาม                     เรียกลำดับ  {Sn}  ดังกล่าวมาแล้วข้างต้นว่าอนุกรมอนันต์ (infinte series)

และเขียนสัญลักษณ์แทนว่า     a1 + a2 + a3 +  ...   หรือ    

เรียก  an  ว่า พจน์ที่  n  ของอนุกรมอนันต์  และเรียก  Sn    ว่าผลบวกย่อยที่  n

(the n th sequence of partial sums) ของอนุกรมอนันต์

สำหรับกรณีที่  {an}  เป็นลำดับจำกัดของจำนวนจริง จะเรียกลำดับ {Sn} ว่า  อนุกรมจำกัด (finte series)  และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

a1 + a2 + a3 + ...  + an  หรือ  

 

หมายเหตุ             สัญลักษณ์ของอนุกรมอนันต์อาจเป็นแบบอื่นนอกเหนือจาก 

                เช่น    หรือ    ดังตัวอย่าง

 

ตัวอย่าง 7.1          1.                 คืออนุกรมอนันต์                 1 +  +  +  ...

                                2.          คืออนุกรมอนันต์                 1 +  +  +  ...

                                3.           คืออนุกรมอนันต์                  +  +  + ...

 

                เพื่อความสะดวกกล่าวถึงอนุกรม ต่อไปจะเรียกอนุกรมอนันต์  สั้น ๆ ว่า  อนุกรม  และใช้สัญลักษณ์   แทน 

               

นิยาม                     ให้   {Sn}  เป็นลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรม   

ถ้า   เท่ากับจำนวนจริง  S  แล้ว จะเรียก  ว่าเป็นอนุกรม  ลู่เข้า  หรืออนุกรมคอนเวอร์เจนต์  (convergent ) และเรียก  S ว่า  ผลบวกของอนุกรม    

ถ้า    หาค่าไม่ได้  จะเรียก   ว่าเป็นอนุกรมลู่ออก  หรืออนุกรมไดเวอร์เจนต์  (divergent)

 

หมายเหตุ             อนุกรมลู่ออก  จะหาผลบวกของอนุกรมไม่ได้

ตัวอย่าง 7.2          1.  จงแสดงให้เห็นว่า   เป็นอนุกรมลู่เข้า  พร้อมทั้งหาผลบวก

ของอนุกรม

วิธีทำ                      เนื่องจากพจน์ที่  n  ของอนุกรมคือ     an  =   = -

                ดังนั้น    S1  =  a1  =   

                                S2  =  a1 + a2  =  +  =  (1-)+(-)

                                S3   =  a1 + a2 + a3  =  ++  =  (1-)+(-)+(-)

                                Sn   =  a1 + a2 + a3 + ... + an

      =  (1-)+(-)+(-)+ ...  +(-)  = 1-

                และ        =   = 1  ดังนั้น  {Sn}  เป็นลำดับลู่เข้า

                นั่นคือ      เป็นอนุกรมลู่เข้า  และมีผลบวกเป็น  1

 

2.  จงแสดงให้เห็นว่า   เป็นอนุกรมลู่เข้า  พร้อมทั้งหาผลบวก

ของอนุกรม

วิธีทำ                      เนื่องจากพจน์ที่  n  ของอนุกรมคือ     an  =    จะได้ว่า

                ดังนั้น    S1  =  a1  =   = 1 -

                                S2  =  a1 + a2  =  +  =    =  1 -

                                S3   =  a1 + a2 + a3  =  ++  =    =  1 -

                                Sn   =  a1 + a2 + a3 + ... + an  =  +++ ... +=1-

                และ        =   = 1  ดังนั้น  {Sn}  เป็นลำดับลู่เข้า

                นั่นคือ     เป็นอนุกรมลู่เข้า  และมีผลบวกเป็น  1

3.  จงแสดงให้เห็นว่า   เป็นอนุกรมลู่ออก

วิธีทำ                      เนื่องจากพจน์ที่  n  ของอนุกรมคือ     an  =   n   จะได้ว่า

                ดังนั้น    S1  =  a1  =  1

                                S2  =  a1 + a2  =  1 + 2

                                S3   =  a1 + a2 + a3  =  1 + 2 + 3

                                Sn   =  a1 + a2 + a3 + ... + an  = 

                และ        =   =  + ¥   ดังนั้น  {Sn}  เป็นลำดับลู่ออก

                นั่นคือ      เป็นอนุกรมลู่ออก

 

ทฤษฎีบท 7.1        1.  ถ้า  และ  เป็นอนุกรมลู่เข้าแล้ว  อนุกรม

จะเป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเป็น  =+

2.  ถ้า   เป็นอนุกรมลู่เข้า  และ  c  เป็นจำนวนจริง  แล้ว อนุกรม  จะเป็นอนุกรมลู่เข้า  และมีผลบวกเป็น  = c

พิสูจน์                    การพิสูจน์ เป็นไปตาม ทฤษฎีบท 2.3  ข้อ 1.  และ  2.

 

หมายเหตุ             ถ้า  และ  เป็นอนุกรมลู่เข้าแล้ว 

อนุกรม   ไม่จำต้องเป็นอนุกรมลู่เข้า   ตัวอย่าง เช่น

ให้   {x n =  }  และ  {yn =  }

 

ทฤษฎีบท 7.2        การลู่เข้า หรือการลู่ออกของอนุกรม ไม่มีผลเปลี่ยนแปลง จากการเพิ่ม

พจน์ของอนุกรมจำนวนจำกัด

พิสูจน์                    เริ่มพิสูจน์โดยการพิจารณาจากการเพิ่มพจน์ของอนุกรม จำนวน 1 พจน์ 

ดังนี้   ให้   เป็นอนุกรม  และให้  t  เป็นจำนวนที่กำหนดให้  ให้  {Sn} เป็น

ลำดับของผลบวกย่อยที่สอดคล้องกับอนุกรม      จากนิยามการลู่เข้าของ

อนุกรมทราบว่า    อนุกรม  ลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ ลำดับ  {Sn} ลู่เข้า  และทราบ 

ต่อไปว่า  ลำดับ {Sn}  ลู่เข้าก็ต่อเมื่อ ลำดับนั้นเป็นลำดับโคชี       สมมุติว่าเพิ่ม

จำนวน  t  เข้าไปในอนุกรมปกติ ระหว่างพจน์  k กับ k+1    ให้ลำดับของผลบวกย่อยสำหรับอนุกรมที่เกิดใหม่เป็น  {S’n}     สมมุติว่า  m > n > k+1   ดังนั้น

                                                Sm  =  a1 + ... + ak + t + ak+1 + ... +an-1 + an + ... + am-1

                                                n  =  a1 + ... + ak + t + ak+1 + ... +an-1

ซึ่งได้ว่า Sm - S’n =  a1 +...  +an-1 =  Sm-1 - Sn-1

                ดังนั้น   {S’n} เป็นลำดับโคชี  ก็ต่อเมื่อ  {Sn} เป็นลำดับโคชี    ซึ่งสรุปได้ว่าการ

เพิ่มพจน์จำนวน  1 พจน์ ไม่มีผลทำให้การลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรม    

สำหรับการเพิ่มพจน์จำนวนจำกัดของอนุกรมนั้น สามารถกระทำ ได้โดยการเพิ่ม

พจน์ที่จะ 1 พจน์ ซึ่งไม่มีผลกับการลู่เข้า หรือลู่ออกของอนุกรม

 

ทฤษฎีบท 7.3        ถ้า   เป็นอนุกรมลู่เข้าใน  R  แล้ว   = 0

พิสูจน์                    จากนิยามของอนุกรมลู่เข้า  เป็นอนุกรมลู่เข้า  มีความหมายว่า

                 หาค่าได้  และเนื่องจาก   xk  =  Sk - Sk-1    ดังนั้น

                =-= 0

 

หมายเหตุ             1.  จากทฤษฎีบท 7.3  สามารถสรุปได้ว่า 

ถ้า ¹ 0  แล้ว   เป็นอนุกรมลู่ออก

                กรณีที่   ¹ 0  หมายรวมถึงกรณีที่   หาค่าไม่ได้ด้วย 

2.       บทกลับของทฤษฎีบท 7.3  ไม่จริง  นั่นคือ  ถ้า  = 0  แล้ว

ไม่สามารถสรุปได้ว่า  อนุกรม   เป็นอนุกรมลู่เข้า  ตัวอย่าง  เช่น

                 เป็นอนุกรมลู่เข้า  และ  เป็นอนุกรมลู่ออก  แต่จะเห็น

ได้ว่าอนุกรมทั้งสองมี   = 0

 

ตัวอย่าง 7.3          จงทดสอบว่าอนุกรมต่อไปนี้  เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ อนุกรมลู่ออก

1.      

2.      

วิธีทำ                      1. == = 1  ¹  0

                ดังนั้น    เป็นอนุกรมลู่ออก

                                2.  เนื่องจาก   an = 3   เมื่อ n  เป็นจำนวนคี่  และ an = -3   เมื่อ n เป็น

จำนวนคู่  ดังนั้น      หาค่าไม่ได้ 

นั่นคือ      เป็นอนุกรมลู่ออก

 

ทฤษฎีบท 7.4        ให้   {xn}  เป็นลำดับของจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริงลบแล้ว  จะได้ว่า

เป็นอนุกรมลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ  {xn} เป็นลำดับที่มีขอบเขต

ในกรณีนี้   = = sup {Sk}

พิสูจน์                    เนื่องจาก   xn ³ 0  ดังนั้นลำดับของผลบวกย่อยจะเป็นลำดับเพิ่มขึ้น

S1 £  S2 £  S3 £  S4 £ … £ Sk £ …

                โดย ทฤษฎีบท  2.7  (ลำดับทางเดียว   ลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ  มีขอบเขต)  จะได้ว่า

{xn}  เป็นลำดับที่มีขอบเขต

ทฤษฎีบท 7.5        ถ้า    และ    เป็นอนุกรมที่มีความแตกต่างกันเฉพาะ  m 

พจน์แรก (นั่นคือ  ak  =  bk   ถ้า  k > m ) แล้ว  จะได้ว่า   และ   เป็น

อนุกรมลู่เข้าทั้งคู่  หรือเป็นอนุกรมลู่ออกทั้งคู่ 

พิสูจน์                    ให้   {Sn} และ  {Tn}  เป็นลำดับของผลบวกย่อยของ  และ

ตามลำดับ    ดังนั้น

                                Sn  =  a1 + a2 + a3 + ... + am +  am+1 +  am+2 + ... + an

                                Tn  =  b1 + b2 + b3 + ... + bm + bm+1 + bm+2 + .. + bn

                เนื่องจาก    ak  =  bk   เมื่อ   k > m  ดังนั้น  สำหรับ  n  ³  m จะได้ว่า

                                Sn - Tn  =  (a1 + a2 + a3 + ... + am) - (b1 + b2 + b3 + ... + bm)  =   Sm -  Tm

                และได้ว่า  เมื่อ    n  ³  m

Sn  =  Tn + (Sm - Tm)

                                                Tn  =  Sn + (Sm - Tm)

                และเนื่องจาก   Sm - Tm  เป็นจำนวนคงตัว  จึงทำให้ 

  หาค่าได้   ก็ต่อเมื่อ  หาค่าได้

                นั่นคือ    และ  เป็นอนุกรมลู่เข้าทั้งคู่  หรือ เป็นอนุกรมที่ลู่ออกทั้งคู่

 

ตัวอย่าง 7.4          จงพิจารณาว่า     เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ เป็นอนุกรมลู่ออก

วิธีทำ                      =  +  +  + ... +  + ...

                ซึ่งเขียนได้ว่า    0 + 0 + 0 + 0 + +  +  + ... +  + ...

                นำมาเปรียบเทียบกับ  =  1 + ++++  +  + ... +  + ...       

                จะเห็นว่ามีความแตกต่างกันเฉพาะ  4  พจน์แรกเท่านั้น  โดยทฤษฎีบท 7.5 

สรุปได้ว่า    เป็นอนุกรมลู่ออก  ทั้งนี้เพราะ    เป็นอนุกรมลู่ออก

 

อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series)

 

นิยาม                     อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series)  คืออนุกรมที่เขียนอยู่ในรูป

a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ...  + {a1 + (n-1)d} + ....

                โดยที่   a1   เป็นพจน์แรก  และ  d  เป็นผลต่างร่วม (common difference)

 

                การหาผลบวกย่อยที่   n  ของอนุกรมเลขคณิต  ทำได้ดังนี้

                จาก         Sn  = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ...+ {a1 + (n-1)d}                                   (1)

                หรือ        Sn  = {a1 + (n-1)d} + {a1 + (n-2)d} +...+ (a1 +d) + a1                               (2)

(1)    + (2)  จะได้

2Sn  = {a1+  a1+ (n-1)d} + {a1+ d +  a1+ (n-2)d} +...+ {a1+(n+1)d) +a1}

       =  {2a1+ (n-1)d}+{2a1+ (n-1)d}+ ... +{2a1+ (n-1)d}  (จำนวน n พจน์)

      =   n{2a1+ (n-1)d}

                ดังนั้น   Sn  =  {2a1+ (n-1)d}

                ซึ่งอาจเขียน    Sn   ในรูปแบบอื่นได้อีก

                จาก                         Sn  =  {2a1+ (n-1)d}

                                                  =  { a1+ a1+ (n-1)d}

                แต่เนื่องจาก       an  =  a1 + (n - 1 )d

                ดังนั้น                    Sn  =  (a1+ an)

 

นั่นคือ อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่เขียนอยู่ในรูป  {2a1+ (n-1)d}  หรือ

(a1+ an)

 

 

อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)

 

นิยาม                     อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)  คืออนุกรมที่เขียนอยู่ในรูป

=  a + ar + ar2 + ...+  arn-1 +...

โดยที่   a ¹ 0   เป็นตัวคงค่า  และ  r  เป็นอัตราส่วนร่วม (common ratio)

 

                การหาผลบวกย่อยที่   n  ของอนุกรมเรขาคณิต  ทำได้ดังนี้

                จาก         Sn  = a + ar + ar2 + ...+  arn-1                                                                   (1)

                และ        rSn  = ar + ar2 + ar3 + ...+  arn-1+  arn                                                    (2)

(1) - (2)  จะได้     Sn -rSn  =  a - arn

ถ้า    r ¹ 1   จะได้ว่า

Sn  =

 

ทฤษฎีบท 7.6        อนุกรมเรขาคณิต    เป็นอนุกรมลู่เข้า  เมื่อ  |r| < 1  และมี

ผลบวกเป็น      และเป็นอนุกรมลู่ออก  เมื่อ |r|  >1

พิสูจน์                    เนื่องจาก    Sn  = , r ¹ 1

                พิจารณา    rn  เมื่อ   n ® ¥   โดยแบ่งพิจารณาเป็น  3  กรณี  ดังนี้

                               

กรณีที่ 1   ถ้า   |r|  < 1   จะได้ว่า   = 0

                และจาก   Sn  =   ได้   =  =

                นั่นคือ      เป็นอนุกรมลู่เข้า  และมีผลบวกเป็น 

 

                                กรณีที่ 2   ถ้า   |r|  = 1   นั่นคือ  r = 1  หรือ  r = -1

                ถ้า   r = 1  จะได้    S  =  a + a + ...+ a  =  na

                                และ  =   

                ถ้า   r = -1  จะได้    S  =  a - a + a - a + ... + (-1)n-1a =

                ดังนั้น    หาค่าไม่ได้

 

                                กรณีที่ 3   ถ้า   |r|  > 1

                จะเห็นว่า                =   ¹  0

                โดยหมายเหตุท้ายทฤษฎีบท  7.3  ได้ว่า   เป็นอนุกรมลู่ออก

 

อนุกรม p (p Series)

 

นิยาม                     อนุกรม p (p Series)  คืออนุกรมที่เขียนอยู่ในรูป

=   +  +  + ...+   +...

โดยที่   p   เป็นตัวคงค่า  กรณีที่   p  =  1  เรียกอนุกรมนี้ว่า  อนุกรมฮาร์โมนิก

 

ทฤษฎีบท 7.7        อนุกรม p         เป็นอนุกรมลู่เข้า  เมื่อ  p > 1  และเป็นอนุกรม

ลู่ออก  เมื่อ   p £ 1

พิสูจน์                    ให้เป็นแบบฝึกหัด

 

 

ตัวอย่าง 7.5          1.   อนุกรม  1  +   +  +  + ...+  + ... เป็นอนุกรมลู่ออก

                ทั้งนี้เพราะ เป็นอนุกรม  p  ที่  p  =   < 1

                                2.  อนุกรม  1  +   +  +  + ... +  + ... เป็นอนุกรมลู่เข้า

                ทั้งนี้เพราะ เป็นอนุกรม  p  ที่  p  =  2  > 1

 

ทฤษฎีบท 7.8        ให้     เป็นอนุกรมที่ไม่มีพจน์ที่เป็นจำนวนลบ  จะได้ว่า  

เป็นอนุกรมลู่เข้า  หรือ เป็นอนุกรมลู่ออกสู่  ¥

พิสูจน์                    ให้   {Sn}  เป็นลำดับของผลบวกย่อยที่สอดคล้องกับ

                เนื่องจาก               Sn+1 - Sn  =  an+1  ³  0

                ดังนั้น  {Sn}  เป็นลำดับเพิ่มขึ้น  และจากทฤษฎีบท 7.4   จะได้ว่า 

{Sn} (และรวมถึง ) เป็นลำดับที่ลู่เข้า  ถ้า  {Sn}  เป็นลำดับที่มีขอบเขต

และจะลู่ออกสู่  ¥  ถ้า   {Sn}  เป็นลำดับที่ไม่มีขอบเขต

 

นิยาม                     อนุกรม   จะเรียกว่าเป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ (absolute

convergent series)  ถ้า  อนุกรม  เป็นอนุกรมลู่เข้า 

ถ้าอนุกรม    เป็นอนุกรมลู่เข้า    แต่อนุกรม  เป็นอนุกรมลู่ออก  จะเรียกอนุกรม   ว่า เป็นอนุกรมอนุกรมลู่เข้ามีเงื่อนไข (conditional convergent series)

 

 

 

 

แบบฝึกหัด  7.1

1.       จงใช้วิธีการหาเศษส่วนย่อย  แสดงให้เห็นว่า

1.1    เมื่อ   a > 0

1.2 

2.       ถ้า  เป็นอนุกรมที่ลู่เข้าแล้ว  จะได้ว่า  เป็นอนุกรมที่ลู่เข้าด้วย 

ถ้า  an ³ 0  อนุกรม    เป็นอนุกรมที่ลู่เข้าหรือไม่

3.       ถ้า   เป็นอนุกรมที่ลู่เข้า  และ  an ³ 0  แล้ว  จะได้ว่า   เป็น

อนุกรมที่ลู่เข้าหรือไม่

4.  ให้    เป็นอนุกรมของจำนวนจริงบวก  และให้  bn,  n  Î N   นิยามดังนี้  

bn  =  (a1 + a2 + ...+ an)/n

                จงแสดงให้เห็นว่า     เป็นอนุกรมลู่ออก

5.  ถ้า    เป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์  และ  {bn}  เป็นลำดับที่มีขอบเขตแล้ว  จงแสดง

ให้เห็นว่า      เป็นอนุกรมลู่เข้า

6.  ให้   เป็นอนุกรมของจำนวนจริงบวกที่ลดลง  จงพิสูจน์ให้เห็นว่า  

เป็นอนุกรมลู่เข้า  ก็ต่อเมื่อ  เป็นอนุกรมลู่เข้า 

7.  ถ้า    c  >  1   จงแสดงให้เห็นว่าอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า

                7.1