ลำดับของจำนวนจริง (Sequence of Real Numbers)

 

จุดประสงค์         

1.       ให้นักศึกษาเข้าใจความหมายของลำดับ

2.       ให้นักศึกษาเข้าใจความหมายของลำดับลู่เข้า  ลำดับลู่ออก

3.       ให้นักศึกษาสามารถตรวจสอบการลู่เข้าของลำดับได้

 

สาระสำคัญ

                ลำดับคือฟังก์ชันจากเซตของจำนวนเต็มบวก ไปยังเซตของจำนวนจริง  โดยจะกล่าวถึงเฉพาะอิมเมจของฟังก์ชันนี้ว่าเป็นลำดับ  เรียกสมาชิกแต่ละตัวของลำดับว่า พจน์ ซึ่งมีตำแหน่งตามจำนวนเต็มบวกที่เป็นโดเมน   การศึกษาลำดับจะศึกษาที่พจน์ทั่วไปของลำดับ  เรียกลำดับที่มีลิมิตเป็นจำนวนจริง ว่า  ลำดับลู่เข้า  และเรียกลำดับที่ไม่เป็นลำดับลู่เข้าว่า  ลำดับลู่ออก

 

 

ความหมายลำดับของจำนวนจริง

 

นิยาม                     ลำดับของจำนวนจริง คือฟังก์ชันจากเซตของจำนวนเต็มบวก  N  ไปเซต

ของจำนวนจริง  R 

 

                ถ้าให้  f   เป็นฟังก์ชันตามนิยาม  ดังนั้นเรนจ์ของฟังก์ชัน  f  คือ เซต

{f(1), f(2), ...}  เรียกจำนวนจริง  f(1), f(2), ...  ว่า  พจน์ของลำดับ  เรียก  f(n)  ว่า พจน์ที่  n  ของลำดับ  และเขียนสัญลักษณ์แทนว่า   fn   นั่นคือเขียนแทน  {f(1), f(2), ...}  ด้วย  {f1, f2, ... }  หรือ  {fn}  เนื่องจาก ลำดับเป็นฟังก์ชันจากเซตของจำนวนเต็มบวกไปยังเซตของจำนวนจริงเสมอ  ดังนั้นเมื่อกล่าวถึงลำดับจะกล่าวเฉพาะเรนจ์ของฟังก์ชัน และเขียนพจน์ที่   n     ของลำดับในวงเล็บปีกกา  {xn}  แทนลำดับ

                {an}  แทนลำดับที่มีพจน์แรกเป็น  a1  พจน์ที่ 2  เป็น  a2  และพจน์ที่  n  เป็น  an เป็นต้น

                ลำดับสองลำดับจะเท่ากันก็ต่อเมื่อ  ลำดับทั้งสองเท่ากัน พจน์ต่อพจน์ ตามลำดับ  นั่นคือ  ลำดับ  {1, 2, 3, 4, 5, ...}  จะไม่เท่ากับลำดับ  {2, 1, 3, 4, 5, ...} 

 

                การกล่าวถึงลำดับโดยทั่วไปจะหมายถึงลำดับอนันต์ (Infinite Sequence) ตามนิยามที่กล่าวมาแล้ว  แต่ถ้ากล่าวถึง ลำดับที่เกิดจาก ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตย่อยของเซตของจำนวนจริง  ซึ่งอยู่ในรูป  {1, 2, 3, ..., n}  เรียกลำดับนี้ว่า ลำดับจำกัด (Finite Sequence)  ซึ่งเขียนแทนว่า  {f(1), f(2), f(3), ... ,f(n)}  หรือ  a1, a2, a3, ..., an

ตัวอย่าง 6.1   ลำดับ  1, 1, 1, ...  หรือ  {1, 1, 1, ...}  ซึ่งเขียนแทนว่า  {1}   หรือ  {1}

                        ลำดับ  2, 4, 6, 8,... หรือ  {2, 4, 6, 8, ...}  ซึ่งเขียนแทนว่า 

{2n}   หรือ  {2n}

 

ชนิดของลำดับ

 

                จะเรียกลำดับ  {an}  ว่าเป็นลำดับเลขคณิต  (Arithmetic Sequence)  ถ้ามีผลต่างร่วม (Common Difference)  d  =  an+1  -  an  เป็นค่าคงตัว   สำหรับทุกค่า  n ³ 1

บางครั้งเรียก  การก้าวหน้าเลขคณิต (Arithmetic Progression)

                พจน์ที่  n  ของลำดับเลขคณิต คือ    an  =  [a1 + (n-1)d]

 

ตัวอย่าง  เช่น   3,  5,  7,  9, ..., 2n+1, ... เป็นลำดับเลขคณิต  เพราะมีผลต่างร่วมเท่ากับ  2

 

                จะเรียกลำดับ  {an}  ว่าเป็นลำดับเรขาคณิต  (Geometric Sequence)  ถ้ามีอัตราส่วนร่วม (Common Ratio)  r  =    เป็นค่าคงตัว   สำหรับทุกค่า  n ³ 1 , r ¹ 0

                พจน์ที่  n  ของลำดับเลขคณิต คือ    an  =  a1(r)n-1

 

ตัวอย่าง  เช่น   3,  10,  20,  40, ..., 5(2)n-1, ... เป็นลำดับเรขาคณิต  เพราะมีอัตราส่วนร่วม

เท่ากับ  2

 

                จะเรียกลำดับ  {an}  ว่าเป็นลำดับฮาโมนิก  (Hamonic Sequence)  ก็ต่อเมื่อ  ลำดับ  

 {}     เป็นลำดับเลขคณิต

พจน์ที่  n  ของลำดับฮาโมนิก คือ    an  = 

 

ตัวอย่าง  ,  ,  ,..., , ...เป็นลำดับฮาโมนิก  เพราะว่า 2, 4, 6,.. เป็นลำดับเลขคณิต

 

ลำดับลู่เข้า และลำดับลู่ออก

 

นิยาม                     ให้  {an}  เป็นลำดับของจำนวนจริง และ  L Î R  จะกล่าวว่า  {an}  ลู่เข้า

(converge)  สู่  L  ก็ต่อเมื่อ  สำหรับทุกจำนวนจริง  e > 0  จะมีจำนวนเต็มบวก  N  ที่ทำให้  สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก  n   ที่  n ³ N   แล้ว    |an  -  L| < e    เรียก   L   ว่าลิมิต (limit)  ของลำดับ {an}     และเขียนว่า  an = L   หรือ  {an} ® L

                                เรียกลำดับที่มีลิมิตว่า  ลำดับลู่เข้า (convergent sequence)  และ

เรียกลำดับที่ไม่เป็นลำดับลู่เข้าว่า ลำดับลู่ออก (divergent sequence)

 

                ลำดับ   {an}   ลู่เข้าสู่  L   คือลำดับที่มีพจน์ท้าย ๆ ของลำดับมีค่าเข้าใกล้   L      นั่นเอง  “พจน์ท้าย ๆ”  คือพจน์ที่  n    ( an )   ที่  n > N  สำหรับจำนวนเต็ม  N  บางตัวที่มีค่ามากพอ “ลำดับมีค่าเข้าใกล้”  หมายถึงระยะห่างระหว่าง  xn  กับ  L  มีค่าน้อย ๆ กล่าวคือ  |an-L| < e  ทุก ๆ  n  > N

                นั่นคือ  ลำดับ  {an}   ลู่เข้าสู่  L  ก็ต่อเมื่อ  กำหนดจำนวนบวก   e  ใด ๆ จะต้องมีจำนวนเต็ม   N  ที่ทำให้   |an-L| < e   ทุก ๆ   n  > N

               

ตัวอย่าง 6.2          ลำดับ  {an}  =  { 1 + }  ลู่เข้าสู่   1

                พิจารณา  เมื่อ   มีค่ามาก ๆ   มีค่าเข้าใกล้  0

                ดังนั้น   จะมีค่าเข้าใกล้  1

พิสูจน์                    ให้    e   > 0  จะต้องหาจำนวน   N   ที่มีค่ามาก ๆ ที่ทำให้      |an-L| < e    ทุก ๆ  ค่า   n  >  N       เมื่อ      an  =   1 +       และ   L  =  1

ดังนั้น     |an  -  L|  =  |(1 + )  - 1|  =    <   e    ถ้า   n >

นั่นคือ  ถ้าเลือก   N  เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่าหรือเท่ากับ    จะได้ว่า  สำหรับทุก ๆ  n  ที่     n >  N  ³  แล้ว  

|an  - L|  =  |(1 + )  - 1|  =   <   £   e

นั่นคือ   { 1 + }  ลู่เข้าสู่  1

ตัวอย่าง 6.3          ลำดับ  {an}  =  { 2 - }  ลู่เข้าสู่   2

พิสูจน์                    ให้    e   > 0   จะต้องหาจำนวน  N   ที่มากพอที่ทำให้   

|an-L| = | (2 - ) - 2| < e

นั่นคือ  ต้องหาจำนวน   N   ที่ทำให้   |-| <  e      ทุก   ค่า   n  >  N

ซึ่งเป็นจริงเมื่อ    <  e   หรือ   n2 >   จะได้ว่า    n  > ในกรณีนี้ควรเลือกจำนวนเต็ม N  ที่มากกว่าหรือเท่ากับ      ซึ่ง  ถ้า  n > N ³   แล้ว  

 | (2 - ) - 2| < e           นั่นคือ     { 2 - }    ลู่เข้าสู่  2

 

ตัวอย่าง 6.4          ลำดับ  {1, 2, 1, 4, 1, 6, 1, 8, ...}  เป็นลำดับลู่ออก

พิสูจน์                    เลือก    e  =    จะเห็นว่าไม่ว่าจะกำหนด   L   เป็นจำนวนใด ๆ  และ  N  เป็นจำนวนเต็มใด ๆ  ก็ตาม จะสามารถหาค่า   an    ที่     n ³ N  และ  |an-L| >   ได้เสมอ   นั่นคือ  ลำดับ  {1, 2, 1, 4, 1, 6, 1, 8, ...}  เป็นลำดับลู่ออก

 

นิยาม                     ลำดับของจำนวนจริง    {an}   จะเรียกว่าลู่ออกสู่ค่าอนันต์ (diverge to infinity)  ถ้า  เมื่อกำหนด  จำนวนจริงใด ๆ   M  จะต้องมีจำนวนเต็มบวก    N  ซึ่งทำให้    ถ้า   n >  N  แล้ว   an >  M    ซึ่งเขียนสัญลักษณ์แทนว่า   an =  ¥   หรือ     {an} ® ¥

 

นิยาม                     ลำดับของจำนวนจริง    {an}   จะเรียกว่าลู่ออกสู่ค่าลบอนันต์ (diverge to

negative infinity)  ถ้าเมื่อกำหนด  จำนวนจริงใด ๆ   K  จะต้องมีจำนวนเต็มบวก                 N  ซึ่งทำให้    ถ้า   n  >  N   แล้ว   an <  K    ซึ่งเขียนสัญลักษณ์แทนว่า 

 an =  - ¥   หรือ  {an} ® - ¥

 

ตัวอย่าง 6.5          ลำดับ   {n2}   เป็นลำดับลู่ออกสู่ค่าอนันต์

พิสูจน์                    ให้   M  เป็นจำนวนบวก ใด ๆ  ถ้าเลือก   N  เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า   (เช่น  ถ้า  M  = 101   เลือก  N = 11  )  จะได้ว่า  ถ้า    n > N  แล้ว 

an = n2 > N2 > ()2  =  M

 

ทฤษฎีบท 6.1        ลำดับของจำนวนจริงที่มีลิมิต  จะมีลิมิตเพียงค่าเดียวเท่านั้น

พิสูจน์                    ให้  {an}  เป็นลำดับที่มีลิมิต  และสมมุติว่า  a, b  เป็นลิมิตของลำดับ  {an}  ที่  a ¹ b

                พิจารณา    e  =  |a  - b|  >  0

                เนื่องจาก    {an} ® a   จะต้องมีจำนวนเต็ม   Na    ที่ทำให้     

                                |an  - a| <  |a  - b|          ทุก ๆ  n > Na

                และเนื่องจาก    {an} ® b   จะต้องมีจำนวนเต็ม    Nb  ที่ทำให้

                |an  - b| <  |a  - b|          ทุก ๆ  n > Nb

                เลือก   N  =  max {Na, Nb}            จะได้ว่า

                |an  - a| <  |a  - b|        และ     |an  - b| <  |a  - b|          ทุก ๆ  n > N

                ซึ่งทำให้    |a  - b|  =  |a  - an  + an  - b|  £  |an  - a| + |an  - b|

 <  |a  - b| + |a  - b|  =  |a  - b|    

ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่   |a  - b| < |a  - b|    เกิดการขัดแย้ง

                ดังนั้น    a = b    นั่นคือ   {an}  มีลิมิตเพียงค่าเดียวเท่านั้น

 

 นิยาม                    เรียกลำดับของจำนวนจริง    {an}   ว่าเป็นลำดับที่มีขอบเขต (bounded) 

ก็ต่อเมื่อ  มีจำนวนจริงบวก    M  ซึ่งทำให้    |an |  £ M    ทุก ๆ   n

 

ตัวอย่าง 6.6          ลำดับ   {(-1)n}   เป็นลำดับที่มีขอบเขต  ทั้งนี้เพราะว่า    |(-1)n |  =  1  

ทุก ๆ   n

ลำดับ   {n2}   เป็นลำดับที่ไม่มีขอบเขต  ทั้งนี้เพราะว่า   ไม่ว่าจะกำหนด  M  เป็นจำนวนจริงใด ๆ  ก็ตามจะสามารถหาจำนวนเต็ม  n  ที่     n  >   ซึ่งทำให้    n2  >  M  ได้เสมอ

 

ทฤษฎีบท 6.2        ลำดับของจำนวนจริงที่ลู่เข้า  จะเป็นลำดับที่มีขอบเขต

พิสูจน์                    ให้  {an}  เป็นลำดับที่ลู่เข้าสู่  L  ดังนั้น จะต้องมีจำนวนเต็ม   N    ที่ทำให้  

|an-L|  < 1   สำหรับทุก ๆ   n  >  N

                เนื่องจาก    ||an|- |L||   £  |an-L|

                ดังนั้น        ||an|- |L||  <  1        ซึ่งทำให้      |an|   <  1 + |L|     ทุก ๆ   n > N

                เลือก          M  =  max {|a1|,  |a2|,  |a3|,  ..., |aN-1|,  1+|L|}         ได้ว่า   M > 0

และ      |an|  £   M     ทุก ๆ    n        นั่นคือ     {an}    มีขอบเขต

 

หมายเหตุ   จากทฤษฎีบท 6.2  สามารถสรุปได้ว่า  ลำดับที่ไม่มีขอบเขตเป็นลำดับที่ลู่ออก

 

                จากลำดับของจำนวนจริงที่กำหนดให้  เราสามารถสร้างลำดับใหม่ได้ด้วยการคูณลำดับด้วย จำนวนคงตัวบางจำนวน  เช่น

                กำหนดให้   {an}  =  {}  =  {1, , , ,  ...}

                คูณด้วย  5  จะได้  {5an}  =  {}  =  {5, , , ,  ...}

                และในทำนองเดียวกัน  ถ้ากำหนดลำดับให้สองลำดับ  เราสามารถสร้างลำดับใหม่ด้วยการนำลำดับทั้งสองมา บวก หรือ คูณกัน พจน์ต่อพจน์  ได้ดังนี้

                กำหนดให้            {an}  =  {}  =  {2, , , ,  ...}

                                                {bn}  =  {}  =  {1, , , ,  ...}

                จะได้ว่า                  {an + bn}  =  { + }  =  {2+1, +, +, +,  ...}

                                                {anbn}  =  {}  =  {2, , , ,  ...}

                                                {}  =  {}  =  {2, 1, , ,  ...}

                (การนำพจน์มาหาร  พจน์ตัวหารจะต้องไม่เป็นศูนย์)

 

ทฤษฎีบท 6.3        ให้  {an}  และ {bn}  เป็นลำดับของจำนวนจริงที่  {an}® a  และ {bn}®b

จะได้ว่า

                1.   {an+bn} ® a+b

                2.   {can} ® ca     สำหรับจำนวนคงตัว   c

3.       {anbn} ® ab

4.       ถ้า  b ¹  0  และ  bn ¹  0   ทุก ๆ  n  แล้ว  {} ®

พิสูจน์                    1.  จะพิสูจน์ว่า    {an+bn} ® a+b

กำหนดให้   e   > 0  จะต้องหาจำนวนเต็มบวก   N  ที่ทำให้  |(an+bn)  - ( a+b)|  <  e    ทุก ๆ  n > N  จากสิ่งที่กำหนดให้  {an}®a ได้ว่าจะมีจำนวนเต็มบวก   N1  ที่ทำให้     |an  - a| <  ทุก ๆ  n > N1

และจาก   {bn}®b ได้ว่าจะมีจำนวนเต็มบวก   N2  ที่ทำให้  |bn  - b| <  

ทุก ๆ  n > N2

                                เลือก  N  =  max {N1,  N2}    จะได้ว่า

                |(an+bn)  - ( a+b)|  =  |(an  - a)+(bn  - b)| £ |an  - a|+|bn  - b| <  + =  e   

ทุก ๆ  n > N          นั่นคือ     {an+bn} ® a+b

 

2.   จะพิสูจน์ว่า  {can} ® ca

กำหนดให้   e   > 0  จะต้องหาจำนวนเต็มบวก  N  ที่ทำให้  |can  - ca|  <  e   

ทุก ๆ         n > N    ในกรณีที่  c ¹ 0  จากสิ่งที่กำหนดให้  {an}®a ได้ว่าจะมีจำนวนเต็มบวก   N  ที่ทำให้   |an  - a| <   ทุก ๆ  n > N   ซึ่งทำให้  

|can  - ca|  =  |c||an  - a|  <  |c| =  e  

ทุก ๆ  n > N   นั่นคือ     {can} ® ca

 

3.        จะพิสูจน์ว่า  {anbn} ® ab

กำหนดให้   e   > 0  จะต้องหาจำนวนเต็มบวก  N  ที่ทำให้  |anbn  - ab|  <  e   

ทุก ๆ    n > N

พิจารณา          |anbn  - ab|  =  |anbn  - anb  + anb - ab|

                                           £ |anbn  - anb| + |anb - ab|

              =  |an ||bn  - b| + |b||an - a|

จากสิ่งที่กำหนดให้   {an}®a   จะได้ว่า  {an}  มีขอบเขต   นั่นคือ มีจำนวนจริง  

M1 > 0           ที่ทำให้      |an| < M1      ทุก   n

                                เลือก    M  =  max {M1, |b|}  

ดังนั้น  M > 0  และ  |anbn  - ab| £ M|bn  - b| + M|an - a|

จาก  {an}®a   จะมีจำนวนเต็มบวก   N1 ที่ทำให้    |an  - a| <  ทุก ๆ  n > N1  และจาก   {bn}®b ได้ว่าจะมีจำนวนเต็มบวก   N2  ที่ทำให้  |bn  - b| <  

ทุก ๆ  n > N2    

                                เลือก    N  =  max {N1, N2}  

จะได้ว่า   |anbn  - ab| £ M+ M=  e  ทุก ๆ  n > N

นั่นคือ      {anbn} ® ab

 

4.  จะพิสูจน์ว่า    {} ®

ช่วงแรกจะแสดงให้เห็นว่า ถ้า    {bn}®b  แล้ว  {} ®

พิจารณา              = 

เนื่องจาก   b ¹ 0   ดังนั้น    > 0 

จาก   {bn}®b   จะมี จำนวนเต็มบวก   N1   ที่ทำให้  |bn- b| <       

ทุก ๆ  n > N1

ซึ่งจะได้ว่า      ||bn| - |b||  £   |bn- b|   < 

                                - <  |bn| - |b|  <

                                                          <  |bn|  <

จะได้ว่า         |bn| >      นั่นคือ     < 

ดังนั้น            <     สำหรับทุก ๆ    n >  N1 

ให้   e   > 0  จาก    {bn}®b   จะมี จำนวนเต็มบวก   N2   ที่ทำให้  |bn- b| <    

ทุก ๆ  n  > N2

เลือก        N  =  max{N1, N2}   จะได้ว่า

                             <   =  e         ทุก   n > N

นั่นคือ             {} ®       

และจากข้อ 3.  จะได้ว่า        {} ®

 

ทฤษฎีบท 6.4        ให้  {an}  และ {bn}  เป็นลำดับที่ลู่เข้า  โดยที่    an £  bn  ทุก ๆ   n  ³ K 

เมื่อ  K   เป็นจำนวนเต็มบวกคงตัว    ถ้าให้   {an}®a   และ  {bn}®b   แล้ว   

a £  b

พิสูจน์                    สมมุติว่า   a > b   ดังนั้น   a  - b > 0  จาก   {an - bn} ® a - b  จะมีจำนวนเต็มบวก  N   ที่ทำให้  |(an - bn)  - ( a - b)|  <  a - b   ทุก ๆ   n > N

                จะได้ว่า      -(a  - b) <  (an-bn)  - ( a-b)  <  (a  - b)

                                      0 <  an - bn

                นั่นคือ      an > bn      สำหรับ   n > N    ซึ่งขัดแย้งกับสิ่งที่กำหนดให้  ดังนั้น  a £ b

 

บทแทรก 6.5    ให้  {an}®L  และถ้า   a £  an £  b   ทุก ๆ   n ³ K   เมื่อ  K  เป็นจำนวน

เต็มบวกคงตัว  แล้ว    a  £  L  £  b

 

พิสูจน์                    เนื่องจาก an £  b   ทุก ๆ   n ³ K   ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 6.4   จะได้ว่า

L  £  b   และในทำนองเดียวกัน  เนื่องจาก   a  £  an     ทุก ๆ   n ³ K

จะได้ว่า        a  £  L

สรุปได้ว่า     a  £  L  £  b

 

ทฤษฎีบท 6.6    (The Sandwich Theorem)

ให้  {an} , {bn} และ {cn}  เป็นลำดับที่    an £  bn £  cn  ทุก ๆ   n  ³ K 

เมื่อ  K เป็นจำนวนเต็มบวกคงตัว  ถ้าให้   {an}®L  และ {cn}®L  แล้ว  {bn}®L

พิสูจน์                    ให้   e   > 0  จาก    {an}®L  และ {cn}®L   ได้ว่า จะมีจำนวนเต็มบวก  N1 และ  N2  ที่ทำให้     |an  - L|  <  e    ทุก ๆ  n > N1  จะได้ว่า   L - e  <  an < L + e 

และ         |cn  - L|  <  e    ทุก ๆ  n > N2  จะได้ว่า   L - e  <  cn < L + e

เลือก        N  =  max {K, N1,  N2 }   จะได้ว่า ถ้า  n  ³  N  แล้ว

               L - e  < an £  bn £ cn < L + e

นั่นคือ    |bn  - L|  <  e    ทุก ๆ  n > N     จะได้ว่า     {bn}®L

 

ตัวอย่าง 6.7          จงแสดงให้เห็นว่า       

วิธีทำ                      เนื่องจาก     -1  £  sin n  £  1        สำหรับ     n Î N

                ดังนั้น          -  £   £  

                และเนื่องจาก           โดยทฤษฎีบท 6.6  จะได้ว่า  

 

 

 

ลำดับทางเดียว  (Monotonic Sequences)

 

นิยาม                     ลำดับของจำนวนจริง   {an}  เป็นลำดับเพิ่ม (increasing sequence)  

ก็ต่อเมื่อ   an £ an+1   สำหรับทุก  ๆ จำนวนเต็มบวก  n  นั่นคือ  

a1  £  a2  £   ...    £ an £ an+1  £ ...

ลำดับของจำนวนจริง   {an}   เป็นลำดับลด (decreasing sequence)   

ก็ต่อเมื่อ   an ³ an+1   สำหรับทุก  ๆ จำนวนเต็มบวก  n  นั่นคือ  

a1  ³  a2  ³  ...    ³ an ³ an+1  ³ ...

เรียกลำดับ  {an}  ว่าเป็นลำดับทางเดียว (monotone sequence)   ถ้า  {an}  เป็นลำดับเพิ่ม หรือลำดับลด

 

ตัวอย่าง 6.8          ลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับเพิ่ม   {n},  {n2},  {n3}

                                ลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับลด      {},  {pn}  เมื่อ  0 < p < 1

                                ลำดับต่อไปนี้ไม่เป็นลำดับทางเดียว    {(-1)n}

 

ทฤษฎีบท 6.7    ให้    {an}  เป็นลำดับทางเดียว จะได้ว่า   {an}  เป็นลำดับลู่เข้า 

ก็ต่อเมื่อ   {an}  มีขอบเขต

พิสูจน์                    จากทฤษฎีบท 6.2  ทราบว่า  ลำดับลู่เข้าเป็นลำดับที่มีขอบเขต 

ในทางกลับกัน  สมมุติให้   {an}  มีขอบเขต  ให้   A  เป็นเรนจ์ของลำดับ   {an}  

ถ้า   {an}  เป็นลำดับเพิ่ม    ให้   a  = sup A  ต่อไปจะแสดงให้เห็นว่า  

an =  a

ให้    e  >  0  เนื่องจาก  a  = sup A  ดังนั้นจะมีจำนวนเต็มบวก  N  ที่ทำให้   

a - e  < an   และจาก  aN £ an £ a  ทุก ๆ   n  ³  N  ได้ว่า    an =  a

ถ้า   {an}  เป็นลำดับลดลง    ให้   b  = inf A

ให้   -A = {-an| n Î N}   ดังนั้น  -A  มีขอบเขตบน  และ  -b  =  sup (-A)  และ

ได้ว่า  {-an}  เป็นลำดับเพิ่ม  ซึ่งจะได้ว่า   (-an) =  (-b) 

นั่นคือ     an =  b

 

หมายเหตุ             จากทฤษฎีบท 6. 7  ให้    {an}  เป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต

และให้ A = {an| n Î N} 

ถ้า    {an}  เป็นลำดับเพิ่มขึ้น แล้ว    an =  sup A

ถ้า    {an}  เป็นลำดับลด แล้ว    an =  inf A

 

ตัวอย่าง 6.9          จงแสดงให้เห็นว่า     {an = (1 + )n}  เป็นลำดับลู่เข้า

วิธีทำ      an = (1 + )n 

    = 1 + n +  +  + ... +

                    = 1 + 1 + (1-) + (1-)(1-) + ...(1-)(1-)...(1-)

                ในทำนองเดียวกัน

an+1 = 1 + 1 + (1-) + (1-)(1-) + ...

           ...+(1-)(1-)...(1-)

จะเห็นว่า  an  มี  n+1  พจน์    an+1  มี   n+2  พจน์  โดยแต่ละพจน์ใน    an  น้อยกว่าหรือเท่ากับพจน์ที่สมนัยกันกับพจน์ของ   an+1   และ    an+1   มีจำนวนพจน์ที่เป็นบวกมากกว่า   อยู่  1  พจน์    ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า   an £ an+1  ทุก ๆ   n   ทำให้   

{an }  เป็นลำดับเพิ่ม 

และ    2 £  a1 £  a2  £  ...  £  an  £  an+1  £  ...

เนื่องจาก    (1-)  <  1   และ   2p-1 £  p!     สำหรับ   p  =  1,  2,  3, ... , n   

และ  n ÎN

จะได้ว่า   an  = 1 + 1 + (1-) + (1-)(1-) + ...

                       ...+(1-)(1-)...(1-)

                       £  1 + 1 +  + + ...+   £  1 + 1 +  + + ...+

ดังนั้น     2  £  an   £    นั่นคือ    {an}   มีขอบเขตบน

โดยทฤษฎีบท  6.7  ได้ว่า   {an}   เป็นลำดับลู่เข้า

ให้     e  =   (1 + )n    

เรียก   e   ว่า จำนวนออยเลอร์ (Euler number)  ซึ่งมีค่าประมาณ  2.71828....

 

แบบฝึกหัด 6.1

1.  จงยกตัวอย่างลำดับ   {an}   ที่ลู่เข้าสู่  0  แต่    an  ¹  0   ทุก ๆ ค่า  n

2.       จงหาลิมิตของลำดับต่อไปนี้ (ถ้าลำดับนั้นเป็นลำดับลู่เข้า)

2.1         {an}  =  {3-}

2.2         {an}  =  {}

2.3         {an}  =  {}

2.4         {an}  =  {1+}

3.  ให้  {an}  และ  {bn}  เป็นลำดับที่  {an}® L  จงแสดงให้เห็นว่า  ถ้า  {an - bn}® 0   แล้ว  

{bn}® L

4.   ถ้า  {an}® a   จงแสดงให้เห็นว่า   {|an|}®|a|

5.  จงยกตัวอย่างลำดับ  {an}   ที่   {|an|}® 1  แต่   {an}  ไม่เป็นลำดับลู่เข้า

6.   ถ้า  {|an|}® 0  จงแสดงให้เห็นว่า   {an}®  0

7.       จงยกตัวอย่างลำดับสองลำดับที่ต่างก็ไม่เป็นลำดับลู่เข้า  แต่ลำดับที่เกิดจากผลบวก

ของสองลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า

 

8.   ให้  {an}  เป็นลำดับของจำนวนที่ไม่เป็นจำนวนลบ  ที่   {an}®  a 

จงแสดงให้เห็นว่า  {}®  

9.       ให้  {an}  เป็นลำดับที่มีขอบเขต  และให้  {bn}  เป็นลำดับที่ {bn}®0  จงแสดงให้เห็น

ว่า  {anbn}®0

10.    จงยกตัวอย่างลำดับ  {an}  และ  {bn} ที่   {bn}®0  แต่  {anbn} ไม่ลู่เข้าสู่   0

11.    ให้ {an}® a  และให้  {bn}  เป็นลำดับที่นิยามดังนี้    bn  = 

จงแสดงให้เห็นว่า   {bn}® a

12.     ให้ {an} = {(-1)n}  จงแสดงให้เห็นว่า  {an}  ลู่ออก 

และให้  {bn}  เป็นลำดับที่นิยามดังนี้    bn  =     

จงแสดงให้เห็นว่า   {bn}  เป็นลำดับลู่เข้า

 

ลำดับย่อย  (Subsequence)

 

นิยาม                     ให้    {an}  เป็นลำดับของจำนวนจริง  และให้   {nk}  เป็นลำดับของจำนวน

เต็มบวกที่   n1 <  n2 <  n3 < ... <  nk  < ...  เรียกลำดับ 

{}  =  {, , ,... , , ...}

ว่าลำดับย่อยของลำดับ {an}      คือพจน์ที่   k  ของลำดับย่อย   {}

 

ตัวอย่าง 6.10       

1.  ลำดับ  {}   เป็นลำดับย่อยของลำดับ  {}

                พิจารณา   {}  =  {1, , , , , , ...}

                                 {}  =  {, , , ,  ...}

                ลำดับ     {nk}  ในนิยามคือ  {nk  =  k+2}  =  {3, 4, 5, 6, ...}

                ทำให้  ลำดับ      {}  =  {}       เป็นลำดับย่อยของลำดับ  {}

 

2.  พิจารณาลำดับ    {, , , , , ...} ไม่เป็นลำดับย่อยของลำดับ  {}  ทั้งนี้เพราะไม่สามารถหาลำดับ    {}  ที่  n1 <  n2 <  n3 < ... <  nk  < ... 

ตามนิยามได้

 

3.       ลำดับ  {(-1)2n} = {1, 1, 1, ...}  เป็นลำดับย่อยของลำดับ  {(-1)n}

= {-1, 1, -1, 1, ...}  ทั้งนี้เพราะลำดับ  {}   ตามนิยามคือ   {2, 4, ..., 2k}   และนอกจากนั้น  จะเห็นว่า  ลำดับ   {(-1)n} ไม่เป็นลำดับลู่เข้า  แต่ลำดับย่อย    {(-1)2n}       ลู่เข้าสู่  1

 

ทฤษฎีบท 6.8        ลำดับ  {an}  ลู่เข้าสู่   L  ก็ต่อเมื่อ  ทุก ๆ ลำดับย่อยของ    {an}  ลู่เข้าสู่    L

พิสูจน์                    ตอนแรกจะแสดงให้เห็นว่า  ถ้า  {an}  ลู่เข้าสู่  L  แล้ว  ทุก ๆ  ลำดับย่อยของ   {an}   ลู่เข้าสู่   L

ให้   {}  เป็นลำดับย่อยของ  {an}   และให้   e  > 0  เนื่องจาก   {an}  ลู่เข้าสู่   L  ดังนั้นจะมีจำนวนเต็มบวก   N   ที่ทำให้   |an  -  L| <  e    ทุก ๆ ค่า   n > N     เนื่องจาก   n1 <  n2 <  n3 < ... <  nk  < ...   จะเห็นว่า  ถ้า    k   เป็นจำนวนเต็มบวกที่    k  ³  N   แล้ว   nk  ³  k  ³  N   ดังนั้น    |  -  L|  <  e        นั่นคือลำดับย่อย     {}    ลู่เข้าสู่   L

ในทางกลับกัน  ให้  nk  =  k,    k = 1, 2, 3, ...  จะเห็นว่าลำดับ    {}    เป็นลำดับย่อยหนึ่งของลำดับ   {an}   ซึ่งเป็นลำดับย่อยที่เท่ากับลำดับ  {an}  

จากสิ่งที่กำหนดให้ทราบว่า  ทุกลำดับย่อยลู่เข้าสู่   L   ดังนั้น   {}  ลู่เข้าสู่   L   ทำให้    {an}  ลู่เข้าสู่    L

 

                จากทฤษฎีบท 6.7     ทราบว่าลำดับทางเดียวที่มีขอบเขตจะเป็นลำดับลู่เข้า  ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นว่า     ลำดับที่มีขอบเขต โดยไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับทางเดียว   จะมีลำดับย่อยที่เป็นลำดับลู่เข้า

ทฤษฎีบท 6.9        ทุกลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต  จะมีลำดับย่อยที่เป็นลำดับลู่เข้า

พิสูจน์                    ให้    {an}   เป็นลำดับที่มีขอบเขต  และให้   A  =  {an |  n  Î N}

                                ถ้า   A   เป็นเซตจำกัด แล้ว   จะมี   a Î A   ที่มี   am =  a   สำหรับทุก ๆ           

m Î M    โดยที่   M  เป็นเซตอนันต์แบบนับได้ และเป็นเซตย่อยของ  A   ดังนั้น  

ให้      M  = {n1, n2, ...}  ได้ว่า     =  a  ทุก ๆ    k  Î N   นั่นคือ   {}   เป็น

ลำดับย่อยของ    {an}   ที่ลู่เข้าสู่   a  

                                ถ้า    A    เป็นเซตอนันต์  เนื่องจาก   A  เป็นเซตที่มีขอบเขต  จะได้ว่า   A 

มีจุดลิมิต (นิยามหน้า 57) ให้   a  เป็นจุดลิมิตของ   A   ต่อไปจะหาลำดับย่อยของ   

{an}  ที่ลู่เข้าสู่   a

                                เนื่องจาก  a  เป็นจุดลิมิตของ  A  โดยทฤษฎีบท 3.1  จะได้ว่าทุก ๆ  r  > 0  

Nr(a)ÇA เป็นเซตอนันต์  ดังนั้นจะมี   n1 Π N ซึ่ง     an  Π N1(a)ÇA     ดังนั้น  

|an  -  a|  <  1   ต่อไปเลือก     n2 Π N   ซึ่ง   n1 < n2    และ     Î  (a)ÇA 

ดังนั้น    |-a| <   และเลือก  n3 Π N   ซึ่ง   n2 < n3    และ   Î (a)ÇA 

ดังนั้น  |-a| < 

ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ  จะได้   nk Î N   ซึ่ง    nk-1 <  nk   และ   Î  (a)ÇA     

ดังนั้น      |-a| <       ซึ่งจะได้   {}  เป็นลำดับย่อยของลำดับ  {an}   ที่  

{}® a

 

ตัวอย่าง 6.11        ให้    {an}  เป็นลำดับของจำนวนตรรกยะที่อยู่ระหว่าง  0  และ  1  โดยมี

พจน์แรก ๆ  ดังนี้     , , , , , , , , , , , , ...

จะได้ว่า  {an}  เป็นลำดับที่มีขอบเขต และมีลำดับย่อยหลายลำดับที่ลู่เข้า  เช่น

                {}  =  {, , ,...}  ลู่เข้าสู่  0

                {}  =  {, , , ,...}  ลู่เข้าสู่  1

 

แบบฝึกหัด 6.2  

1.       จงยกตัวอย่างลำดับที่ไม่มีขอบเขต แต่มีลำดับย่อยที่มีขอบเขต

2.       ให้  {an}  และ  {bn}  เป็นลำดับของจำนวนจริง  และนิยามลำดับ  {cn}   ดังนี้

c1  =  a1,  c2  =  b1,   c3  =  a2,   c2  =  b4, ...,   c2n-1  =  an,   c2n  =  bn,  ...

จงแสดงให้เห็นว่า   {cn}    เป็นลำดับลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ  {an}  และ  {bn}  เป็นลำดับลู่เข้า  และan   =  bn

3. ให้  {an}  เป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต และ   aI  ¹  aj    สำหรับทุก   i,  j Î N    

ซึ่ง  i ¹ j  และให้   {an | n Î N}   มีจุดลิมิตเพียงจุดเดียว  จงแสดงว่า    {an}   เป็น

ลำดับลู่เข้า

4.  จงหาลิมิตของลำดับต่อไปนี้

                4.1    {(1 + )}

                4.2    {(1 + )}

                4.3    {(1 + )}

                4.4    {(1 + )}

5. ให้  {an}  เป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต  สำหรับแต่ละ   n Î N  ให้                  

sn  =  sup {ak|  k  ³  n}    และ    s  =  inf {sn | n Î N }    จงแสดงให้เห็นว่า           

มีลำดับย่อยของ  {an}  ที่ลู่เข้าสู่   s

6.  ให้   an  ³  0   สำหรับทุก  n Î N   และให้    {(-1)nan}   เป็นลำดับที่ลู่เข้า  แล้ว 

จงแสดงว่า  {an} เป็นลำดับที่ลู่เข้า