กิจกรรมที่  4.2   การหาอินทิกรัลจำกัดเขต

 

จุดประสงค์

1.       ให้นักศึกษาเข้าใจความหมายของอินทิกรัลจำกัดเขต

2.       ให้นักศึกษาสามารถหาอินทิกรัลจำกัดเขตได้

 

             ให้  f   เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง  [a,b]    แบ่งช่วง  [a,b]  ออกเป็น  n  ส่วน  ให้   xi  เป็นจุดแบ่งดังนี้    a = x0 < x1 < x2 < …< xn-1 < xn = b

            ให้        Dx1  =  x1 -  x0   เป็นความกว้างของช่วง  [x0, x1]

                        Dx2  =  x2 -  x1   เป็นความกว้างของช่วง  [x1, x2]

                                 M               

                         Dxn  =  xn -  xn-1   เป็นความกว้างของช่วง  [xn-1, xn]

             ความกว้างของแต่ละช่วงจะเท่ากันหรือไม่ก็ได้

             ให้    ti   เป็นจำนวนจริงใด ๆ ในช่วง  [xi-1, xi]  เมื่อ   i   =  1, 2, …, n

              ดังนั้น    f(ti) Dxi    เป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปที่   i    

              ผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้ง  n  รูป  คือ

                            

    

             

             เรียก   Sn  ว่าผลรวมรีมันน์  (Riemann Sum)

             ถ้าแบ่งพื้นที่ใต้โค้งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าจำนวนมากขึ้น   n  เข้าสู่ค่าอนันต์           ทำให้ค่า    

 

 

 

เข้าสู่พื้นที่ใต้โค้ง

 

บทนิยาม   4.1    ให้  f  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง  [a,b]   สำหรับแต่ละ  n  ให้ 

              {Hi|i=1..n}  เป็นเซตของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่อยู่ระหว่างโค้ง  f  กับแกน  x   จำนวน 

               n  รูปที่มีความกว้างอยู่บนแกน  x  ที่แบ่งบนช่วง  [a,b]      ความกว้างสูงสุด

              ของ สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปลดลงสู่  0  เมื่อ  n  เข้าสู่ค่าอนันต์    และถ้าลิมิต

              ต่อไปนี้หาค่าได้     อินทิกรัลจำกัดเขตของฟังก์ชันต่อเนื่อง  f  จาก   a   ถึง  b 

              นิยามดังนี้    

 

 

 


              เมื่อ    Ai   เป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปที่  i   ซึ่งเท่ากับ   f(ti) Dxi

                              เมื่อ    ti        เป็นค่าบนแกน x ที่อยู่บนช่วงความกว้างของ Hi ,

                                        f(ti)    คือความสูงของสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปที่  i ,  

                                        Dxi   คือความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปที่  i

 

              เรียก                           ว่ารีมันน์อินทิกรัล (Riemann Integral)

      

              เรียก     f    ว่าเป็นฟังก์ชันที่อินทิเกรตได้บนช่วง  [a,b]

              เรียก    f(x)   ว่าอินทิเกรน (integrand)

              เรียก    b   ว่าลิมิตบนองการอินทิเกรต (upper limit of integration)

              เรียก    a   ว่าลิมิตล่างของการอินทิเกรต (lower limit of integration)

 หมายเหตุ    เมื่อ   f(xi)   เป็นบวก   Ai    จะเป็นพื้นที่จริงของสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปที่  i  

                    เมื่อ  f(xi)   เป็นลบ    Ai    จะเป็นค่าลบของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปที่  i

 

ใน  Maple  ใช้คำสั่ง สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต  ดังนี้

 > Int(f(x),x=a..b);

 

 

ตัวอย่าง  4.4    จงหาพื้นที่ใต้โค้ง   f   ที่นิยามดังนี้     f(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6  ระหว่าง 

                      1  ถึง  2

วิธีทำ      นิยามฟังก์ชัน   f  

 > f:=(x)->x^3-6*x^2+11*x-6;

 

               ลงจุดเส้นโค้ง   f    ระหว่าง  0  ถึง   4   ได้ดังนี้

 > plot(f,0...4,-2..2);

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่  4.11

            หาจุดที่เส้นโค้งตัดแกน  x  ได้โดยใช้คำสั่ง

> solve(f(x)=0);

                                                1,   2,  3

 

             จากกราฟจะเห็นว่าพื้นที่ใต้โค้ง   f  มีเพียงช่วง   [1,2]  เท่านั้น   ซึ่งหาอินทิกรัลจำกัดเขตจาก   1  ถึง  2   ดังนี้

> Int(f(x),x=1..2);

 

 

> value(%);

                                                                                                                           

 

              ถ้าโค้งอยู่ใต้แกน  x  อินทิกรัลจำกัดเขตจะมีค่าเป็นลบของพื้นที่ระหว่างโค้งกับแกน x    ดังตัวอย่างต่อไปนี้

 

ตัวอย่าง 4.5   จงแบ่งพื้นที่ระหว่างโค้งของฟังก์ชัน f  (จากตัวอย่าง 4.4)  กับแกน  x     บนช่วง  [2,3]  เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าจำนวน  10  รูป และหาค่าพื้นที่ระหว่างโค้งของฟังก์ชันดังกล่าวโดยใช้ลิมิตผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าเมื่อจำนวนรูป  สี่เหลี่ยมมีค่าเข้าสู่ค่าอนันต์

วิธีทำ     เพื่อให้เห็นภาพโค้งบนช่วง [2,3]  ว่าอยู่ใต้แกน  x   จะใช้คำสั่ง leftbox()   

              แสดงการแบ่งพื้นที่ใต้โค้งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า  10  รูป  ดังนี้

> with(student):            

 
> leftbox(f(x),x=2..3,10);

 

 

 

 

 

 

รูปที่  4.12

              หาผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าในรูปทั่ว ๆ ไป (จำนวน  n  รูป)                                                    

> leftsum(f(x),x=2..3,n);

               

 

 

 

              หาผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า  เมื่อจำนวนรูปสี่เหลี่ยมมีค่าเข้าสู่ค่าอนันต์

 

> limit(%,n=infinity);

 

 

 

 

 


              หาค่าของผลลัพธ์

> value(%);

                                                         

              ซึ่งมีค่าพื้นที่เป็น ลบ  ทั้งนี้เพราะกราฟของฟังก์ชัน  f   อยู่ใต้แกน x  ค่าความสูง  f(x)  เป็นลบ  

              ดังนั้น พื้นที่ระหว่างโค้ง  f  (ที่อยู่ใต้แกน  x)  กับแกน x  จะเท่ากับ      นั่นคือเท่ากับ  ค่าลบของอินทิกรัลจำกัดเขตของฟังก์ชัน  f   จาก  2  ถึง  3  หาได้ดังนี้

> - Int(f(x),x=2..3);

 

 

 

> value(%);

                                                                                                        

 

ตัวอย่าง 4.6   จงหาค่าพื้นที่ระหว่างโค้งของฟังก์ชัน  f  (จากตัวอย่าง  4.4)  กับแกน  x   

              บนช่วง  []

วิธีทำ     ถ้าหาอินทิกรัลจำกัดเขตโดยไม่ดูลักษณะของโค้งว่าอยู่บนแกนหรืออยู่ใต้แกน x

             ผลการอินทิกรัลจำกัดเขตจะเป็นดังนี้

 

> Int(f(x),x=3/2..5/2);

 

 

 

 

 

 

 


> value(%):

                                                      0

 

             ซึ่งเป็นค่าที่ผิด  เพราะมีพื้นที่บางส่วนอยู่ด้านบนแกน x  มีค่าเป็นบวก และบางส่วนอยู่ใต้แกน x  ซึ่งมีค่าเป็นลบ  เมื่อนำมารวมกันจึงหักล้างกันหมด  แต่แท้จริงแล้วพื้นที่ระหว่างโค้ง  f  กับแกน  x  บนช่วง [] มีค่ามากกว่า  0  พิจารณาจากกราฟต่อไปนี้

 
> leftbox(f(x),x=3/2..5/2,10);

 

 

 

 

 

 

รูปที่  4.13

 

                ดังนั้นการหาพื้นที่ระหว่างโค้ง  จะต้องพิจารณาเป็นส่วน ๆ  โดยหาจุดตัดแกน x    ก่อนดังนี้

> xintercept := solve(f(x)=0 ,x);

 

                                                xintercept := 1, 2, 3

จุดตัดแกน  x   ที่โค้งเปลี่ยนจากอยู่บนแกน  x  เป็นอยู่ใต้แกน  x  คือ   x = 2    ดังนั้น  ควรแยกพิจารณาหาพื้นที่ระหว่างโค้งเป็น  2  ส่วน  คือ  จาก  3/2  ถึง  กับ  2  ถึง  5/2 

ดังนี้ 

> Area := Int(f(x),x=3/2..2) -  Int(f(x),x=2..5/2);

 

 

 

 

 


> value(Area);

                                                                                                                         

 

แบบฝึกหัด  4.4

1.       จงหาพื้นที่ใต้โค้ง  f(x)  =  x3 - 5x2 + 3x + 9  ระหว่าง  2  ถึง  4

2.       จงแบ่งพื้นที่ระหว่างโค้งของฟังก์ชัน f  (จากข้อ 1.)  กับแกน  x  บนช่วง  [2,4]  เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าจำนวน  8  รูป และหาค่าพื้นที่ระหว่างโค้งของฟังก์ชันดังกล่าวโดยใช้ลิมิตผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าเมื่อจำนวนรูป  สี่เหลี่ยมมีค่าเข้าสู่ค่าอนันต์

3.       จงหาพื้นที่ใต้โค้ง  f(x)  =  x3 - 5x2 + 3x + 9  ระหว่าง  -2  ถึง  2

 

 

บทนิยาม  4.2  

                   .  ถ้า  a  เป็นจุดที่อยู่บนโดเมนของ  f   เรานิยามว่า

 

 

ข.       ถ้า  f  เป็นฟังก์ชันที่หาอินทิกรัลได้บนช่วง  [a,b]  แล้วเรานิยามว่า

 

                     

ตัวอย่าง  4.7     จงหาอินทิกรัลจำกัดเขตต่อไปนี้

    

                    1.

 


                 2.

 

3.            

 


วิธีทำ         1.     > Int(2*x,x=1..1);

 

 


                         > value(%);

                                                  0

 

                2.     > Int(2*x,x=1..2);

 

 

                         > value(%);

                                                 3                                                  

 

                  3.     > Int(2*x,x=2..1);

 

 


                         > value(%);

                                                -3

 


                 จาก  2.  และ 3.  จะเห็นว่า                                                                    

สมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต

 

           สมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต สามารถแสดงให้เห็นโดย  Maple  ได้ดังนี้

> with(student):                                                                                                                                                          

> Int(c*f(x),x=a..b);

 

> expand(%);

 

            

             นั่นคือ                                                                                                                                                               

 

> Int((f(x)+g(x)),x=a..b);

 

 


> expand(%);

 

 


             นั่นคือ                                                                                                    

 

ทฤษฎีบท 4.1    ถ้า  f  และ  g  เป็นฟังก์ชันที่หาอินทิกรัลได้บนช่วง  [a,b]   และ ถ้า   c

          เป็นค่าคงตัวแล้ว cf,  f+g  และ f-g  เป็นฟังก์ชันที่หาอินทิกรัลได้บนช่วง [a,b] และ     

 


             1.

 


              2.

 


              3.

             พิจารณาสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต  ต่อไปนี้

> Int(f(x),x=a..c)+Int(f(x),x=c..b);

 

 

> combine(%);

 

 


 

            นั่นคือ                                                                                                     

                                                                                                                              

ทฤษฎีบท 4.2      ถ้า  f   เป็นฟังก์ชันที่หาอินทิกรัลได้บนช่วง  I   และ  a , b ,  c  เป็นจุดที่

             อยู่ในช่วง  I   แล้ว

   

 

             จากนิยามของอินทิกรัลจำกัดเขตจะเห็นว่า  อินทิกรัลจำกัดเขตของฟังก์ชันบนช่วงที่อยู่เหนือแกน x  จะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ  0   ซึ่งสามารถสรุปเป็นสมบัติได้ดังนี้

            

ทฤษฎีบท 4.3   

           1.   ถ้า  f  เป็นฟังก์ชันที่หาอินทิกรัลได้บนช่วง [a,b]   และ  f(x) ³ 0  สำหรับทุก ๆ  

                 x   บนช่วง  [a,b]  แล้ว

 

 

           2.   ถ้า  f   และ  g   เป็นฟังก์ชันที่หาอินทิกรัลได้บนช่วง  [a,b]   และ   g(x) £ f(x)  

                 สำหรับทุก ๆ  x   บนช่วง  [a,b]  แล้ว

 

 

 

ตัวอย่างที่  4.8  จงแสดงให้เห็นว่า  

 

 

 

             โดยไม่ต้องคำนวณหาค่าอินทิกรัล

 

วิธีทำ    เราต้องการเปรียบเทียบฟังก์ชันทั้งสองบนช่วง  [1,3]  ดังนี้

> f:=(x)->2*x^4+2;

 

> g:=(x)->4*x^4+2;

 

             บนช่วง  [1,3]  จะได้ว่า     f(x)  < g(x)   ซึ่งจะดูได้จากการแทนค่าตัวแปร หรือ

             จากกราฟต่อไปนี้

 
> plot({f,g},1..3);

 

 

                                                                                   g

                                                                                     f

 

 

รปที่  4.14

 


             ดังนั้น   ตามทฤษฎีบท  4.3  สรุปได้ว่า 

  

           นั่นคือ                                                                                                      

 

 

แบบฝึกหัด  4.5

กำหนดให้         =  2 ,    = 3    และ    = 1

จงหาค่าต่อไปนี้

1.      

2.        +

3.      

4.      

5.      

6.      

7.      

 

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส  (The Fundamental Theorem of Calculus)

                             

              ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นทฤษฎีบทที่แสดงความสัมพันธ์กันระหว่างอนุพันธ์และอินทิกรัล

 

ทฤษฎีบท 4.4   ให้   f   เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง  [a,b]    และสมมุติว่า  A  นิยามดังนี้

                 A(x)  =     จะได้ว่า  A  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง  [a,b]     และ    

                = f(x)

การพิสูจน์       นิยาม  ฟังก์ชัน  A(x)  =     ดังนี้

> A :=(x)->int(f(t),t=a..x);

            

 

                 ให้  t   เป็นจุดใด ๆ บนช่วง  [a,b]   จะแสดงให้เห็นว่า     

> A(t);

 

> Limit(A(x),x=t);

 

 

> value(%);           

 

 

                สรุปได้ว่า                                               

 

                นั่นคือ   A  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง  [a,b]

               

                เราจะหาอนุพันธ์ของ  A  โดยใช้ลิมิตดังนี้

> (A(x-h)-A(x))/h;

 

 

 

> limit(%,h=0);

                                                f(x)

               นั่นคือ          = f(x)                                                                 

 

               เรียกฟังก์ชัน  A  ว่าปฏิยานุพันธ์ (antiderivative)  ของ  f 

 

ตัวอย่างที่  4.9   ให้   F(x)  =    จงหา    F(1)   และ        

วิธีทำ    นิยาม  ฟังก์ชัน   F(x)  =     ดังนี้

> F:=(x)->Int(1/(1+t^2),t=1..x);

 

 

> F(1);

 

 

> value(%);

                                               0

> diff(F(x),x);

 

 

             นั่นคือ    F(1) =  0      และ    =                                         

 

ตัวอย่างที่  4.10  ให้   A(x)  =    จงหา      

วิธีทำ     จากนิยาม 4.2 (.)   ทราบว่า

 


              ดังนั้น

 

              นั่นคือ   ถ้าให้        ดังนั้น   A(x) = 

              นิยาม  ฟังก์ชัน   A(x) =     ดังนี้

 

> A:=(x)->Int(f(t),t=3..-x);

 

 

> diff(A(x),x);

                                          -f(-x)

 

               นั่นคือ       =  -f(-x)  =                                 

 

ทฤษฎีบท 4.5   ให้   f   เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง  [a,b]    และสมมุติว่า  A  นิยามดังนี้

             A(x)  =     จะได้ว่า สำหรับ   c  และ  d   ที่อยู่ในช่วง  [a,b]        

                               

 

การพิสูจน์    กำหนดฟังก์ชัน   A(x)  =    โดย  Maple  ดังนี้

> A :=(x)->int(f(t),t=a..x);

                 

 

 

                  สำหรับ   c   และ  d  ที่อยู่ใน  [a,b]   พิจารณาในกรณีที่   c  £ d   จะได้ว่า

> A(d) - A(c);

 

 


 

                  ซึ่งสามารถรวมกันได้โดยใช้ ทฤษฎีบท 4.1  และ  4.2  ได้ดังนี้


> combine(%);

 

                  นั่นคือ                                                                                                   

               

ตัวอย่างที่  4.11    จงหาค่าของ   

วิธีทำ     เนื่องจาก       =  x2

              ให้            A(x)   =        ดังนั้น    

              ตามทฤษฎีบท  4.5  ได้ว่า    = A(3) – A(1)  = - =      

              ถ้าใช้คำสั่ง  Maple ตรวจสอบจะได้ว่า

 > Int(x^2,x=1..3);

 

 

 > value(%);

                                                                                                        

 

แบบฝึกหัด  4.6

1.   ให้    F(x)  =      จงหา   F(2)    และ  

2.   ให้    f(x)  =      จงหา   f(2)    และ  

3.   จงหาค่าของ    

4.   จงหาค่าของ