การประยุกต์อนุพันธ์และการอินทิกรัล

               

การหาค่าสูงสุดและต่ำสุด

นิยาม  8.1.1    ให้    f    เป็นฟังก์ชันบนช่วง   I     และ   t  Î I

1.  เราจะเรียก   f(t)    ว่าค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (relative maximum) ของ   f   ที่จุด  t   ก็ต่อเมื่อ  มีจำนวนบวก   h    ที่ทำให้   f(x)  £  f(t)   ทุก ๆ  x  Î (t-h,t+h)   และเรียกจุด   (t,f(t)) ว่า  จุดสูงสุดสัมพัทธ์ของ  f

2.   เราจะเรียก   f(t)    ว่าค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (relative minimum) ของ    f  ที่จุด  t   ก็ต่อเมื่อ  มีจำนวนบวก   h  ที่ทำให้   f(x)    f(t)  ทุก ๆ   x  Î (t-h,t+h)   และเรียกจุด  (t,f(t))  ว่า  จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของ   f

3.   เราจะเรียก   f(t)   ว่าค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (absolute maximum)   ของ   f    บน   I    ก็ต่อเมื่อ   f(x)  £  f(t)   ทุก ๆ   x  Π I   และเรียกจุด   (t,f(t))   ว่าจุดสูงสุดสัมบูรณ์ของ   f

4.  เราจะเรียก   f(t)   ว่าค่าต่ำสุดสัมบูรณ์  (absolute minimum)   ของ   f    บน  I  ก็ต่อเมื่อ    f(x)    f(t)   ทุก ๆ   x  Π I   และเรียกจุด  (t,f(t))   ว่าจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของ   f

 

 

 

 

 

 

 

 

 


รูปที่  8.1.1

                f      เป็นฟังก์ชันบนช่วง   (-,a]

                ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ คือ    f(m),  f(p),  f(a)

                ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์  คือ   f(n),   f(q)

                ค่าสูงสุดสัมบูรณ์  คือ   f(a)

                ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์    ไม่มี

 

 

การหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดวิธีที่ 1 (โดยใช้อนุพันธ์อันดับ  1)

ทฤษฎีบท  8.1.1   ให้    f    เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่  t     และ   f’(t)  =  0    หรือ   f’(t)    หาค่าไม่ได้   ถ้ามีช่วง   (a,b)    ที่    t  Π (a,b)   และทำให้   f’(x)  >  0   เมื่อ   x  Î  (a,t)   และ  f’(x)  <  0    เมื่อ   x  Π (t,b)  แล้ว   f(t)    จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ   f    ที่จุด   t

พิสูจน์      เนื่องจาก   f   เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่   t    เพราะฉะนั้น    f    นิยามที่จุด   t   เพราะว่ามีช่วง   (a,t)    ที่ทำให้  f’(x)  >  0  เมื่อ   x Î (a,t)   

จะได้ว่า    f   จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบน  [a,t]      และ  f(t)  >  f(x)         " x Î [a,t)

มีช่วง   (t,b)  ที่ทำให้   f’(x)  <  0  เมื่อ   x Î (t,b)  

จะได้ว่า     f   จะเป็นฟังก์ชันลดบน  [t,b] และ              f(t)  >  f(x)         " x Î (t,b]

ดังนั้น   f(t)  >  f(x)         " x    t     และ   x Î [a,b]

นั่นคือ    f(t)   จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ   f    ที่จุด   t

 

ทฤษฎีบท  8.1.2   ให้   f    เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องที่  t    และ  f’(t)  =  0   หรือ   f’(t)   หาค่าไม่ได้     ถ้ามีช่วง   (a,b)   ที่    t Î (a,b)   ทำให้   f’(x)  <  0   เมื่อ  x Î (a,t)   และ  f’(x)  >  0   เมื่อ  x Î (t,b)   แล้ว  f(t)   จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ   f    ที่จุด   t  

 

ถึงแม้ว่า   f’(t)    จะหาค่าไม่ได้    f(t)   ก็เป็นค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด)  ได้เช่น   ฟังก์ชัน   f   ในรูป    f’(t)    มีค่าเข้าใกล้       นั่นคือ   f’(t)    หาค่าไม่ได้  แต่   f(t)   เป็นค่าสูงสุด

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                                                                                          รูปที่  8.1.2

 

ค่า   f(t)   ที่ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์  เราจะเรียกว่า  ค่าที่สุด  (extreme value)  หรือ extremum  ของ  f

ค่า    f    ที่ทำให้   f’(t)  =  0  หรือ  f’(t)   หาค่าไม่ได้  จะเรียกว่า  ค่าวิกฤต (critical value)

                วิธีการหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์วิธีที่  1  (โดยใช้อนุพันธ์อันดับ  1)

1.       หาค่า  f’(t)

2.       หาค่าวิกฤต   t   โดย

2.1  ให้    f’(t)   =  0   ในกรณีที่  f’(t)    หาค่าได้

2.2   ให้     =  0  ในกรณีที่    f’(t)   หาค่าไม่ได้

3.       ทำการทดสอบค่าวิกฤต   t

3.1  ถ้า     f’(x)  >  0     เมื่อ     x  <  t    และ

                   f’(x)  <  0    เมื่อ      x  >  t

                แล้ว   f(t)    จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ   f    ที่จุด   a

3.2  ถ้า    f’(x)  <  0    เมื่อ     x  <  t      และ

                   f’(x)  >  0    เมื่อ      x  >  t

แล้ว   f(t)   จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ   f   ที่จุด   t   

(ค่า   x   ที่   x  <  t  หรือ   x  >  t  จะต้องเป็นค่าที่น้อยกว่าหรือมากกว่า  t  เพียงเล็กน้อยเท่านั้น  หรือเป็นค่าที่อยู่ใกล้ ๆ   t  นั่นเอง)

 

ตัวอย่าง   8.1.1     จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน   f   ที่นิยามว่า

                                f(x)   =  2x3 + 4x2 – 8x + 1

วิธีทำ      เพราะว่า   f’(x)  =  6x2 + 8x – 8

                ให้          f’(t)  =  0

                เพราะฉะนั้น      6t2 – 8t – 8  =  0    

                                                (3t - 2)(t + 2)  =  0

                                                t  =      หรือ    -2 

เพราะว่า                f’()  =  0,          f’(x)  <  0              เมื่อ   x  Π (0,)

และ                                                        f’(x)  >  0              เมื่อ   x  Π (,1)

เพราะฉะนั้น        f()   จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ    f     ที่จุด 

เพราะว่า                f’(-2)  =  0,           f’(x)  >  0              เมื่อ   x  Π (-3,-2)

และ                                                        f’(x)  <  0              เมื่อ   x  Π (-2,-1)

เพราะฉะนั้น        f(-2)   จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ    f     ที่จุด  -2

 

ตัวอย่าง  8.1.2      จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน   f   ที่นิยามว่า

                                f(x)   = 

วิธีทำ      เพราะว่า   f’(x)  = 

                                                =    = 

ให้          f’(t)   =   0     จะได้ว่า       t  =  -2

จะเห็นว่า   เมื่อ     t  =  0,    f’(t)    จะหาค่าไม่ได้

เพราะฉะนั้น  ค่าวิกฤตจะมีสองค่า  คือ   -2,   0

เพราะว่า     f’(-2)  =  0,                      f’(x)  >  0              เมื่อ    x  Π (-3,-2)

และ                                                        f’(x)  <  0              เมื่อ   x  Π (-2,0)

เพราะฉะนั้น        f(-2)   จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ    f     ที่จุด  -2

เพราะว่า     f’(0)  หาค่าไม่ได้            f’(x)  <  0              เมื่อ    x  Π (-2,0)

และ                                                        f’(x)  >  0              เมื่อ   x  Π (0,1)

เพราะฉะนั้น        f(0)   จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ    f     ที่จุด  0

จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ คือ     (0,0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         รูปที่  8.1.3

 

แบบฝึกหัด  8.1.1

                จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันที่นิยามดังต่อไปนี้

1.       f(x)  =  x3 – 6x2 + 9x

2.       f(x)  =  10 - 12x – 3x2 + 2x3

3.       f(x)  =  2x2 – x4

4.       f(x)  =  x4 – 4x

5.       f(x)  =  3x4 – 4x3 – 12x2

6.       f(x)  =  x3 + x2 – 6x + 8

7.       f(x)  = 

 

การหาค่าสูงสุดและต่ำสุดวิธีที่  2 (โดยใช้อนุพันธ์อันดับ  2)

ทฤษฎีบท 8.1.3    ให้    f     เป็นฟังก์ชันบนช่วง    I   ให้   t Î I   ซึ่ง    f’(t)  =  0   และ  f(t)  หาค่าได้

1.  ถ้า    f”(t)  >  0   แล้ว     f(t)    จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ   f    ที่    t

2.  ถ้า    f”(t)  <  0   แล้ว     f(t)    จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ   f    ที่    t

พิสูจน์    ข้อ  1.     จากนิยามของ  

                f”(t)  =      =        

เพราะว่า    f”(t)  >  0    จะมีช่วงเปิด   J     ที่    t  Π J   และ

  >  0

ทุก ๆ     x  ¹  t    ใน   J

นั่นคือ                    f’(x) – f’(t)  <  0                  เมื่อ         x – t  <  0

และ                        f’(x) – f’(t)  >  0                  เมื่อ         x – t  >  0

แต่           f’(t)  =  0

                                f’(x)  <  0                              เมื่อ         x  <  t

และ                        f’(x)  >  0                              เมื่อ         x  >  t

                f(t)   จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ   f    ที่    t

           ข้อ  2.  พิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

 

ข้อสังเกต   เนื่องจากทฤษฎีบทไม่ได้กล่าวถึง  กรณีที่   f”(t)  =  0   ดังนั้น   ถ้า   f”(t)  =  0   จึงสรุปอะไรไม่ได้  นั่นหมายถึงใช้วิธีนี้ทดสอบไม่ได้   ให้กลับไปใช้วิธีทดสอบวิธีที่  1

 

วิธีการหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์  และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์วิธีที่  2  (โดยใช้อนุพันธ์อันดับ  2)       

1.  หาค่า   f’(x),   f”(x)

2.  หาค่าวิกฤต    t   โดย

                2.1  ให้     f’(t)  =  0       เมื่อหาค่า    f’(t)   ได้

                2.2  ให้    =  0    เมื่อหาค่า   f’(t)   ไม่ได้

3.  ทดสอบค่าวิกฤต  t

                3.1  ถ้า     f”(t)  <  0   แล้ว   f(t)    จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ    f     ที่จุด  t

                3.2  ถ้า     f”(t)  >  0   แล้ว   f(t)    จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ    f    ที่จุด   t

                3.3  ถ้า     f”(t)  =  0   แล้ว   จะหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์โดยวิธีนี้ไม่ได้ให้กลับไปใช้

                    วิธีที่  1

 

ตัวอย่าง  8.1.3      จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน   f   ที่นิยามว่า     f(x)  =  x4

 
วิธีทำ                      f’(x)  =  4x3

ให้                          f’(t)  =  0

                                4t3  =  0

                                t   =  0

                                f”(x)   =  12x2

                                f”(0)   =  0

นั่นคือใช้วิธีที่  2  ทดสอบไม่ได้  ต้องใช้วิธีที่  1  ทดสอบ   ดังนี้                  รูปที่  8.1.4

เนื่องจาก    f’(0)  =  0,        f’(x)  <  0              เมื่อ      (-1,0)

และ                                        f’(x)  >  0              เมื่อ      (0,1)

เพราะฉะนั้น        f(0)   จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ    f    ที่จุด   0

 

ตัวอย่าง  8.1.4      จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน   f   ที่นิยามว่า    

f(x)  =  x3 -  x2 – 18x +

วิธีทำ                      f’(x)  =  3x2 – 15x – 18

                                f”(x)   =  6x – 15

ให้                          f’(t)   =   0

                                3t2 – 15t – 18   =   0

                                (3t + 3)(t – 6)   =   0           

t  =  -1,   6

เพราะว่า                f’(-1)  =  0   และ    f”(-1)  =  -21  <  0

เพราะฉะนั้น        f(-1)  =   11    จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ     f     ที่จุด   -1    และจุดสูงสุดสัมพัทธ์คือ    (-1,11)

เพราะว่า                f’(6)  =  0   และ    f”(6)  =   21  >  0

เพราะฉะนั้น        f(6)  =       จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ     f     ที่จุด   0    และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์คือ    (6, )

 

 
ตัวอย่าง   8.1.5     จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน   f   ที่นิยามว่า    

f(x)  =  x +      เมื่อ     x  ¹  0

วิธีทำ                      f’(x)  =  1 -   = 

                                f”(x)   = 

ให้                          f’(t)   =   0

                                t2 – 4  =  0

                                t   =   2,   -2

เพราะว่า                f’(2)  =  0   และ    f”(2)  =  1  >  0                         รูปที่  8.1.5

เพราะฉะนั้น        f(2)  =   4    จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ     f     ที่จุด   2   

เพราะว่า                f’(-2)  =  0   และ    f”(-2)  =  -1  <  0

เพราะฉะนั้น        f(-2)  =   - 4    จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ     f     ที่จุด  - 2   

 

(จะเห็นว่า  ค่าสูงสุดสัมพัทธ์  ไม่จำเป็นต้องมีค่ามากกว่าค่าต่ำสุดสัมพัทธ์)

 

แบบฝึกหัด  8.1.2

                จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้

1.  f(x)  =  2x3 + x2 – 5x -

2.   f(x)  =  3 +

3.   f(x)  =  2x – 2(x – 2)3/2

4.       f(x)  =  (x – 3)1/2 – 2x

5.       f(x)  = 

6.       f(x)  = 

7.       f(x)  =  (3x + 1)2(x – 5)

8.       f(x)  =  (x + 3)(2x – 7)3

9.       f(x)  = 

 

การหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์  และต่ำสุดสัมบูรณ์

                ให้    f    เป็นฟังก์ชันบนช่วง     [a,b]   เราสามารถหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์  ได้ตามขั้นตอนดังนี้

1.    หาค่าสูงสุดสัมพัทธ์  และต่ำสุดสัมพัทธ์ของ  f     บนช่วง  [a,b]   สมมุติว่าได้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์   

       หรือต่ำสุดสัมพัทธ์  เป็น   f(x1),  f(x2),  …,  f(xn)

2.    หาค่าของ     f(a)     และ    f(b)

3.       ค่าสูงสุดสัมบูรณ์  หรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์  หาได้ดังนี้

3.1  ค่าสูงสุดสัมบูรณ์   =  max(f(a), f(b), f(x1),  f(x2),  …,  f(xn))

3.2  ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์   =  min(f(a), f(b), f(x1),  f(x2),  …,  f(xn))

 

 
ตัวอย่าง  8.1.6      จงหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์  และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน   f    ที่นิยามว่า

                                f(x)  =  x3 + 2x2 – 4

วิธีทำ                      f’(x)   =   3x2 + 4x

                                f”(x)  =  6x + 4

ให้          f’(t)   =   0     ดังนั้น     3t2 + 4t  =  0                

                                t(3t + 4)  =  0

                                t   =   0,   

เพราะว่า                f’(0)  =  0    และ    f”(0)   =  4                                        รูปที่ 8.1.6

เพราะฉะนั้น        f(0)   =  - 4   จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ    f     ที่จุด   0

เพราะว่า                f’()  =  0    และ    f”( )   =  - 4

เพราะฉะนั้น        f()   =     จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ    f     ที่จุด  

                f(-2)   =  - 4,         f(1)   =   - 2

ค่าสูงสุดสัมบูรณ์   =   max(-4,   -2,   -4, )   =   - 2

เพราะฉะนั้นจุดสูงสุดสัมบูรณ์ของ    f   บนช่วง     [-2,1]     คือ   (1,-2)

 

ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์   =   min(-4,   -2,   -4, )   =   - 4

เพราะฉะนั้นจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของ    f   บนช่วง     [-2,1]     คือ   (-2,-4)    และ   (0,-4)

 

แบบฝึกหัด  8.1.3

จงหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์  และจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน  บนช่วงที่กำหนดให้ ต่อไปนี้

1.     f(x)  =  2 + 12x + 3x2 – 2x3                       บนช่วง    [-2,3]

2.     f(x)  =  3x4 + 4x3 - 12x2 + 2                      บนช่วง    [-2,3]

3.     f(x)  =  2x3 - 3x2 - 36x + 25                    บนช่วง    [-3,4]

4.     f(x)  =  x4 - 2x2 + 1                                     บนช่วง    [-2,2]

5.     f(x)  =  2x3 - 9x2 + 12x – 2                        บนช่วง    [0,3]

6.     f(x)  =  x3 - 2x2 + x – 1                               บนช่วง    [-3,3]

 

การนำค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดไปใช้

                ก่อนที่จะกล่าวถึงการนำไปใช้  ขอทบทวนสูตรเบื้องต้นเกี่ยวกับการหาพื้นที่  และปริมาตร ที่จำเป็นต้องใช้   ดังนี้

1.   วงกลม             1.1  เส้นรอบวง  =   2pr

1.2    พื้นที่  =   pr2

1.3    พื้นที่ส่วนของวงกลม  =    เมื่อ  a คือมุมที่จุดศูนย์กลางวัดเป็นเรเดียน

2.   พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู  =    ´  สูง  ´  ผลบวกด้านคู่ขนาน

3.   ทรงกระบอก    3.1  ปริมาตร   =   pr2h 

3.2    พื้นที่ผิวด้านข้าง  =   2prh

4.   กราวยกลม      4.1  ปริมาตร  =   pr2h

4.2    พื้นที่ผิวด้านข้าง    prl     เมื่อ   l  = 

5.  ทรงกลม           5.1  ปริมาตร  =   pr3

                                5.2  พื้นที่ผิว   =   4pr2

 

ข้อแนะนำในการแก้ปัญหา

1.     หาความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งต่าง ๆ ที่โจทย์กำหนดมาให้แล้วสร้างเป็นสมการ (ถ้าวาดรูปได้ ควรวาดรูปประกอบจะทำให้มองความสัมพันธ์ง่ายขึ้น)

2.     ถ้ามีหลายสมการพยายามรวมให้เหลือเพียงสมการเดียว  และให้เป็นสมการของความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งที่โจทย์ต้องการให้มีค่าสูง(หรือต่ำ) สุด  (ให้เป็น f(x))  กับสิ่งที่โจทย์ต้องการทราบ (ให้เป็นค่า  x )

3.     หาค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) ของ  f

 

ตัวอย่าง  8.1.7      จงหาเลขสองจำนวน  ซึ่งรวมกันเท่ากับ  12  และทำให้ผลคูณของกำลังสองของจำนวนที่หนึ่งกับจำนวนที่สองมีค่ามากที่สุด

วิธีทำ      ให้จำนวนที่หนึ่ง    =    x

                จำนวนที่สอง            =    12 -  x         

ให้          f(x)   =  x2(12 – x)               เมื่อ         0  <  x  <  12

                f’(x)  =  x2 (12 – x)  +  (12 – x) x2

                          =  - x2 + 2x(12 – x)

                          =  - x2 + 24x – 2x2      =    24x – 3x2     =    x(24 – 3x)                       

                f”(x)  =   24 – 6x

ให้          f”(x)  =  0

                x(24 – 3x)  =  0

                x  =  0    หรือ   8

จะเห็นว่า       x  =  0    ไม่อยู่ในโดเมนของ   f     ดังนั้นพิจารณาเฉพาะ     x  =  8   เท่านั้น ดังนี้

                f’(8)  =  0          และ         f”(8)  =  - 24

                f(x)    จะมีค่ามากที่สุด    เมื่อ      x  =  8

เพราะฉะนั้น   เลขจำนวนที่หนึ่งต้องเท่ากับ  8   และจำนวนที่   2  เท่ากับ   4

 

ตัวอย่าง  8.1.8      จงหาขนาดของกล่องสี่เหลี่ยมด้านบนเปิด   ที่มีปริมาตรมากที่สุด  ซึ่งสร้างจาก  แผ่นกระดาษสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด    10 นิ้ว  x  16  นิ้ว  โดยการตัดมุมทั้งสี่ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่า ๆ กัน  แล้วพับขึ้นเป็นด้านข้างของกล่อง

วิธีทำ                      ให้ขนาดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ตัดออกมีด้านยาว     x  นิ้ว

 

 

 

 

 

 

 

            รูปที่  8.1.7

 

จากรูปที่  8.1.7   จะเห็นว่าขนาดของกล่องจะเป็น      x,   10 – 2x,   16 – 2x   

ให้          V(x)    เป็นปริมาตรของกล่อง

                V(x)  =  x(10 – 2x)(16 – 2x)  =  4(40x – 13x2+ x3),    0  <  x  <  5   หาค่าสูงสุดของ    V

                V’(x)  =  4(40 – 26x + 3x2)   =  4(x – 2)(3x - 20)

ให้          V’(x)  =  0

                4(x – 2)(3x - 20)  =  0

                x  =  2   หรือ  

จะเห็นว่าค่า   x   จะเท่ากับ     ไม่ได้เพราะว่า  ด้านกว้างของกระดาษมีเพียง  10  นิ้ว  เท่านั้น

 จึงพิจารณาเฉพาะค่า  x  =  2   ดังนี้

                V’(2)  =  0            และ        V”(2)  =  - 56

เพราะฉะนั้น        V(2)  =  144     จะเป็นปริมาตรของกล่องที่มีค่ามากที่สุด

                ขนาดของกล่องที่มีปริมาตรมากที่สุด   คือ    สูง  2  นิ้ว   ยาว  6  นิ้ว  และ  กว้าง  12  นิ้ว

 

ตัวอย่าง  8.1.9      โรงงานแห่งหนึ่งต้องการทำถ้วยทรงกระบอกกลมด้านบนเปิดให้มีปริมาตรตามที่กำหนด     ถ้าวัสดุทำก้นถ้วยแพงกว่างวัสดุทำด้านข้าง   50 %   จงหาขนาดของถ้วยที่ทำให้ราคาวัสดุที่ใช้ถูกที่สุด

 
วิธีทำ                                                      ให้ถ้วยมีปริมาตร                    =   k                     ..หน่วย

                                                                สมมุติให้รัศมีของก้นถ้วย    =   r                       หน่วย 

                                                                และถ้วยสูง                               =    h                   หน่วย

                                                                เพราะฉะนั้น พื้นที่ด้านข้าง  =    2prh            ตารางหน่วย

                                                                พื้นที่ก้น                                                    =     pr2              ตารางหน่วย

ราคาวัสดุทำก้นถ้วยแพงกล่าววัสดุทำด้านข้าง    50 %

 

 

                        รูปที่  8.1.8

 

เพราะฉะนั้น  ถ้าราคาวัสดุทำด้านข้าง  ตารางหน่วยละ       n     บาท

ราคาวัสดุที่ทำก้นจะราคา ตารางหน่วยละ                               บาท

ถ้าให้     f(r)    เป็นราคาวัสดุในการทำถ้วย

                f(r)   =   2nprh +  npr2  ……………………………………………..(1)

แต่ปริมาตรของทรงกระบอกกลม      =            pr2h                        

pr2h     =   k

                                                                h   =    ………………………………….. (2)

แทนค่า      h    ใน   (1)

                                f(r)     =    +  npr2

                                f’(r)   =    - +  3npr

ให้          f’(r)   =   0

                                  =  0

                                r   =  

และ       f’(r)      หาค่าไม่ได้ที่        r  =  0

พิจารณาเฉพาะ    r   =  

ถ้า           r   <              แล้ว        f’(r)  =   :   <  0

ถ้า           r   >              แล้ว        f’(r)  :     >  0

เพราะฉะนั้น        r   =              จะทำให้ราคาวัสดุในการทำถ้วยถูกที่สุด

แทนค่า     r      ใน   (2)   เพราะฉะนั้น    h  =      

นั่นคือ   ถ้วยจะต้องมีขนาดสูง      หน่วย  และรัศมีของก้นถ้วย     หน่วย   เมื่อ   k    เป็นปริมาตรของถ้วยที่กำหนดให้   

 

 
ตัวอย่าง  8.1.10   จงหาขนาดของทรงกระบอกกลมที่มีปริมาตรมากที่สุดซึ่งบรรจุอยู่ภายในทรงกลมรัศมี     R    หน่วย

วิธีทำ

 

 

 

 

 

 

 

 

                รูปที่  8.1.9

 

ให้รัศมีของฐานทรงกระบอกกลม   =   r   หน่วย  และสูง   =  h   หน่วย  

ให้       V(r)     เป็นปริมาตรของทรงกระบอก

                                V(r)     =    pr2h

แต่จากรูปภาพตัดตามขวาง   จะเห็นว่า

                                h   =    2

เพราะฉะนั้น        V(r)   =    2pr2(R2 – r2) ½                  เมื่อ      0  <  r  <  R

                                V’(r)   =   2pr2 (R2 – r2) - ½ (-2r) + 4pr(R2 – r2) ½               

                                                =   2pr(R2 – r2) - ½(2R2 – 3r2)

ให้          V’(r)  =  0

เพราะฉะนั้น        =  0

                r  =  0,         ,    -            

และ        V’(r)      หาค่าไม่ได้ที่        r  =  R

จะเห็นว่าค่า        r   =      เพียงค่าเดียวเท่านั้นที่อยู่ในโดเมนของ   V

ถ้า      r   <    , V’(r)  =   :   >  0

ถ้า      r   <    , V’(r)  :    <  0

เพราะฉะนั้น        r   =      จะให้ค่า   V   สูงที่สุด

ขนาดของทรงกระบอกกลมจะมีรัศมีของฐานเท่ากับ    หน่วย  และสูงเท่ากับ       หน่วย

 

แบบฝึกหัด  8.1.4

1.  จงแบ่ง   120  ออกเป็น  2  ส่วน  โดยให้

1.1      ผลคูณของส่วนทั้งสองมีค่ามากที่สุด

1.2      ผลบวกของกำลังสองของแต่ละส่วนมีค่าน้อยที่สุด

1.3      ผลคูณของกำลังสองของส่วนที่หนึ่งกับกำลังสามของอีกส่วนหนึ่งมีค่ามากที่สุด

2.  ให้เส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก  n   หน่วย  จงหาความก้างและความยาวที่ทำให้สี่เหลี่ยมรูปนี้

      มีพื้นที่มากที่สุด

3.   จงหาขนาดของสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มี  พื้นที่มากที่สุด  และบรรจุอยู่ภายในวงกลม  รัศมี  6  หน่วย

4.     มีกระดาษแผ่นสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ  12  นิ้ว   ต้องการทำกล่องด้านบนเปิด  โดยการตัดมุมทั้งสี่ของกระดาษแผ่นนี้ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมุมละเท่า ๆ กัน แล้วพับขึ้นเป็นด้านข้างของกล่อง  อยากทราบว่าด้านของจัตุรัสที่ตัดออกยาวด้านละเท่าไรจึงจะทำให้  ปริมาตรของกล่องนี้มีค่ามากที่สุด

5.     มีแผ่นกระดาษสี่เหลี่ยมมุมฉาก  ขนาด  10 นิ้ว x  20  นิ้ว  ต้องการนำมาทำกล่องฝาเปิดโดยตัดมุมออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส  แล้วพับขึ้นเป็นด้านข้างของกล่อง  จงหาขนาดและปริมาตรของกล่องที่มากที่สุด

6.     สี่เหลี่ยมคางหมูรูปหนึ่งมีด้านยาวด้านละ   5  นิ้ว   ด้านที่สี่จะต้องยาวเท่าไร  จึงจะทำให้สี่เหลี่ยมคางหมูรูปนี้มีพื้นที่มากที่สุด

7.     ลวดเส้นหนึ่งยาว   100  นิ้ว  ต้องการตัดออกเป็นสองส่วน  ส่วนหนึ่งนำมาขดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส  อีกส่วนหนึ่งนำมาขดเป็นรูปวงกลม  อยากทราบว่า

7.1    จะตัดลวดเส้นนี้  อย่างไรจึงจะทำให้ผลบวกของพื้นที่ทั้งสองมีค่าน้อยที่สุด

7.2    จะตัดลวดเส้นนี้อย่างไรจึงจะทำให้ผลบวกของพื้นที่ทั้งสองมีค่ามากที่สุด

8.     จงหาขนาดของกล่องฝาเปิดที่มีปริมาตรมากที่สุด  เมื่อมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส  และมีพื้นที่ผิวทั้งหมดเท่ากับ   a   ตารางหน่วย

9.     จงหาปริมาตรที่มากที่สุดของทรงกระบอกกลมซึ่งบรรจุอยู่ภายในกรวยกลมรัศมี  12  นิ้ว  และสูง   15  นิ้ว

10. ต้องการทำกระป๋องสังกะสี  รูปทรงกระบอกกลมให้มีปริมาตร  58 ..นิ้ว  และ  ใช้สังกะสีน้อยที่สุด   อยากทราบว่ากระป๋องใบนี้  จะมีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่าใด  ถ้า

10.1    ไม่ทำฝาด้านบน

10.2    ทำฝาด้านบนด้วย