ไฮเปอร์โบลา  (Hyperbola)

นิยาม  3.3     ไฮเปอร์โบลา  คือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบที่ผลต่างของระยะทางจากจุดนั้นไปยังจุดคงที่สองจุดที่มีค่าคงที่เป็นบวก  และน้อยกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ทั้งสองนั้น

 

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่  3.21

 

                จากรูปที่ 3.21     F1,   F2    เป็นจุดคงที่สองจุด   เรียกจุดคงที่ทั้งสองจุดนี้ว่า   จุดโฟกัส   เรียกเส้นตรงที่ผ่านโฟกัส   F1   และ   F2   ว่า  แกนผ่าน (transverse axis)   เรียกเส้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับแกนผ่านว่า   แกนคอนจูเกต (conjugate axis)  เรียกจุดตัดระหว่างแกนผ่านและแกนคอนจูเกตว่า  จุดศูนย์กลาง   ใช้สัญลักษณ์แทนว่า   C    เรียกจุดที่กราฟโฮเปอร์โบลาตัดแกนว่า  จุดยอด (vertex)   ใช้สัญลักษณ์แทนว่า   V1,  V2    และเรียกคอร์ดที่ผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับแกนผ่านว่า  เลตัสเรคตัม  (latus rectum)

               

 
                จากนิยามของไฮเปอร์โบลา  เราสามารถวาดไฮเปอร์โบลาให้สมจริงได้โดยปฏิบัติ  ดังต่อไปนี้

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่  3.22

 

จากรูป  ให้     F1 ,   F2  เป็นจุดคงที่  (โฟกัส)  ใช้ตาปูตอกที่    F1   และ  F2   ตำแหน่งละตัว  นำเชือกยาวพอประมาณมาคล้อง    F1 ,   F2   แล้วโยงไปคล้องดินสอและมัดให้แน่น (ที่จุด   P)  จากจุด   P   โยงกลับมาคล้องจุด     F1    นำปลายทั้งสองมารวมกันที่   G   ดังรูป

                วิธีการวาดกราฟ   ใช้มือหนึ่งจับปลายเชือกทั้งสองที่    G   และใช้อีกมือหนึ่งจับที่ดินสอให้ตั้งฉากกับพื้นลากดินสอไป  โดยค่อย ๆ ผ่อนเชือกจากตำแหน่ง  G    หรือ   ค่อย ๆ ดึง  แล้วแต่กรณี  ทั้งนี้จะต้องให้เชือกทุกส่วนตึง

                จากรูปไม่ว่าเราจะผ่อนหรือดึงเชือกจากตำแหน่ง   G   สักเท่าไร  ผลต่างของ   |F1P| - |PF2|  จะคงที่เสมอ   ทั้งนี้ เพราะเวลาเราผ่อนเชือกที่ตำแหน่ง   G  เชือกจะได้ผ่อนเท่า ๆ กันทั้งสองเส้น  นั่นคือ    |F1P| - |PF2|    ยังคงเท่าเดิม  ในทำนองเดียวกัน  ถ้าเราดึงเชือกที่ตำแหน่ง  G   เชือกจะถูกดึงพร้อม ๆ กันทั้งสองเส้น   นั้นคือ   ความยาวของ   |F1P|   และ  |PF2|    จะลดลงเส้นละเท่า ๆ กัน  ฉะนั้นผลต่าง   |F1P| - |PF2|  ยังคงเดิม

                ซึ่งทำให้รูปที่เกิดขึ้นจากการกระทำดังกล่าวเป็นรูปไฮเปอร์โบลา

 

 
ทฤษฎีบท  3.12    สมการของไฮเปอร์โบลาที่มีโฟกัสอยู่ที่   F1(-c,0)   และ   F2(c,0)   เมื่อ   c  >  0   และ   ค่าคงที่เท่ากับ     2a     ซึ่ง    2c  > 2a  >  0   คือ

  =  1     เมื่อ   b  =                                  ……………………. (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่  3.23

 

พิสูจน์      จากรูปที่  3.23   จุด   P(x,y)   เป็นจุดใด ๆ บนไฮเปอร์โบลา  ก็ต่อเมื่อ

||F2P|  -  |F1P||  =  2a    หรือ  |F2P|  -  |F1P|  =  ±2a                                                         (2)

 «                                  -    =  ±2a                                                          (3)

 «                                 =   ± 2a                                                              (4)

   ®                                 x2 – 2cx + c2 + y2   =  x2 + 2cx + c2 + y2  ±  4a + 4a2               (5)

«                                 ± 4a  =  4a2 + 4cx                                                                          (6)

«                                   =  ±(a + x)                                                                 (7)

  ®                                 x2 + 2cx + c2 + y2  =  a2 + 2cx +  x2                                                   (8)

«                                    (-1)x2 - y2   =    c2 -  a2                                                                                         (9)

«                                  x2 - y2  =  b2 ,         b2  =  c2 – a2                                                                            (10)

«                                                  =  1   

จากการพิสูจน์ที่ผ่านมา  เป็นเพียงการแสดงว่า  ถ้า   P(x,y)   อยู่บนกราฟของไฮเปอร์โบลา   แล้ว  จะได้ว่า

      =  1   

แต่ยังไม่เพียงพอที่จะประกันได้ว่า  จุดต่าง ๆ ที่สอดคล้องกับสมการ      =  1   

จะอยู่บนกราฟของไฮเปอร์โบลา

ต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นว่า  ถ้า  P(x,y)  เป็นจุดใด ๆ  ที่สอดคล้องกับสมการ  =  1     แล้ว จุด   P(x,y)    จะอยู่บนกราฟของไฮเปอร์โบลา

ให้     P(x,y)    เป็นจุดใด ๆ ที่สอดคล้องกับ      =  1    นั่นคือ (1)   เป็นจริง

                จากการพิสูจน์ข้างต้นจะเห็นว่า   ถ้าเราสามารถแสดงให้เห็นว่า     (8)  ®  (7)     และ       (5)  ®  (4)     แล้ว   เราจะสรุปได้ทันทีว่า   P(x,y)   อยู่บนกราฟของไฮเปอร์โบลา  ตามต้องการ

                ถ้า    (x,y)    สอดคล้องกับสมการ   (1)   แล้วจะได้ว่า

                                x  ³  a     หรือ    x  £  -a

กรณีที่  1                ถ้า      x  ³  a     แล้ว             a +  ³  a + c  >  0                                                                         จะได้ว่า        =   a +                                                                                  (11)

กรณีที่  2                ถ้า    x  £  -a แล้ว  a +  £  a - c   <   0                                                                        จะได้ว่า        =   -(a + )                                                                      (12)

นั่นคือ     (8)  ®    (7)

จาก   (11)              =  (a + )

«                 -2a  =   - a

ซึ่ง           - a    >    c – a  >  0  

เพราะฉะนั้น        - 2a   >  0

จาก   (12)                 =   -(a + )

                «           + 2a  =  (a - )

ซึ่ง           a  -     ³    c – a  >  0  

เพราะฉะนั้น        + 2a   >  0

นั่นคือ     (5)  ®    (4)

 

ทฤษฎีบท  3.13    สมการของไฮเปอร์โบลาที่มี โฟกัสอยู่ที่    F1(0,-c)    และ  F2(0,c)   เมื่อ  c  >  0   และค่าคงที่เท่ากับ     2a     ซึ่ง     2c  >  2a  >  0    คือ            เมื่อ    b  = 

 

หมายเหตุ  เรียกสมการใน  ทฤษฎีบท  3.12  และ  3.13  ว่าสมการรูปมาตรฐานของไฮเปอร์โบลา

 

จากสมการไฮเปอร์โบลา  

เราสามารถหาจุด      V1 ,  V2    ได้โดย  การแทนค่า   y  =  0    เพราะฉะนั้น     x  =  a ,  -a  

นั่นคือ     V1 ,  V2    มีพิกัดเป็น    (-a,0)   และ   (a,0)   ตามลำดับ  และระยะห่างระหว่าง     V1    กับ V2   เท่ากับ  2a

 

นิยาม  3.4             เรียกส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดยอด    V1 ,  V2   ว่า แกนผ่าน   เรียก   a   และ  b   ว่า ครึ่งแกนผ่าน  และครึ่งแกนคอนจูเกต   ตามลำดับ

 

ทฤษฎีบท  3.14    ให้    a  >  b   >  0   และ   b  =     ไฮเปอร์โบลาที่มีสมการเป็น     =  1

คือเส้นโค้งที่มีความเยื้องศูนย์กลางมากกว่า  1     โฟกัสที่   F2(c,0)    และไดเร็กตริกซ์    d2   มี      สมการเป็น    x  =     (หรือโฟกัสที่  F1(-c,0) )   และไดเร็กตริกซ์   d1   มีสมการเป็น  x  =  -)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่  3.24

 

พิสูจน์                    จุด     P(x,y)   อยู่บนสมการของไฮเปอร์โบลา  ก็ต่อเมื่อ

                                                  =  1

เพราะฉะนั้น                                 y2  =  b2(-1)

                                                   |PF2|2   =   (x – c)2 + y2  =  x2 – 2cx + c2 + y2

                                                                =    x2 – 2cx + c2 + b2(-1)

                                                                =    x2 - 2cx + c2 - b2

                                                                =    x2  - 2cx + a2  

                                                                =    (x2 – 2x +  )   =   (x - )2

ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง

เพราะฉะนั้น                           |PF2|    =   |x - |

ให้         =  e   เพราะฉะนั้น        |PF2|    =    e|x - |   =   e|PE|

หรือ                           =   e

จากทฤษฎีบทที่   1    ทราบว่า     c  >  a 

นั่นคือ                    e   =      >   1

เนื่องจากกราฟของไฮเปอร์โบลามีคุณสมบัติสมมาตรเมื่อเทียบกับแกน  y   ดังนั้น  การพิสูจน์ในกรณีที่  ใช้จุด   (-c,0)   เป็น  โฟกัส   และเส้นตรง    x  =  -    เป็นไดเร็กตริกซ์   จึงสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน

 

ทฤษฎีบท  3.15    ให้   a  >  b   >  0   และ   b  =     ไฮเปอร์โบลาที่มีสมการเป็น  

คือเส้นโค้งที่มีความเยื้องศูนย์กลางมากกว่า  1     โฟกัสที่   F2(0,c)    และไดเร็กตริกซ์    d2   มี      สมการเป็น    y  =     (หรือโฟกัสที่  F1(0,-c) )   และไดเร็กตริกซ์   d1   มีสมการเป็น  y  =  -)

 

นิยาม  3.5             ให้   P    เป็นจุดใด ๆ บนกราฟ   S ,    s   เป็นระยะทางจากจุด  P   ไปยังเส้นตรง  L   และ   r    เป็นระยะทางจากจุด  P    ไปยังจุด กำเนิด     ถ้ามีกราฟ    S0  ,   S0 Í  S   ที่  

สำหรับ   P   บน   S0   แล้ว  จะเรียกเส้นตรง   L   ว่าเป็น  asymptote  ของ   S 

 

                จากนิยาม  asymptote  ของ  S  คือเส้นตรงที่มีกราฟเข้าใกล้กราฟของ   S   มาก  เมื่ออยู่ไกลจากจุดกำเนิด

 

พิจารณา  asymptote  ของไฮเปอร์โบลา

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่  3.25

 

จากรูป  พิจารณาเส้นทะแยงมุม  L1  และ  L2   ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีจุดกำเนิดเป็นจุดตัดกันของเส้นทะแยงมุม  มีด้านที่ขนานกับแกน   x   ยาว   2a  และ  ด้านที่ขนานกับแกน   y   ยาว  2b

                เส้นตรง   L1   ผ่านจุดกำเนิด  และมีความชัน       ดังนั้น มีสมการเป็น    y  = x  หรือ     y  -  x  =  0

                เส้นตรง   L2   ผ่านจุดกำเนิด  และมีความชัน   -     ดังนั้น มีสมการเป็น    y  = -x  หรือ     y  + x  =  0

                ถ้าเขียนสมการเส้นตรง     L1   และ   L2    ในรูปฟังก์ชันแฝงจะได้

                     (y - x)(y + x)  =  0

                                y2 -   =  0

หรือ                       

                ต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นว่า    L1   และ   L2   เป็นเส้น  asymptote   ของไฮเปอร์โบลาที่มีสมการเป็น 

 

ทฤษฎีบท  3.16    เส้นตรงที่มีสมการเป็น     เป็นสมการเส้น   asymptote  ของไฮเปอร์โบลาที่มีสมการเป็น        

พิสูจน์                    เนื่องจาก     เป็นไฮเปอร์โบลามีคุณสมบัติสมมาตร  โดยแกนทั้งสอง  และจุดกำเนิด  จึงขอแสดงเฉพาะใน quadrant  ที่  1   เท่านั้น

ใน quadrant  ที่  1   เส้นตรงคือ   L1   ซึ่งมีสมการเป็น  y  = x    และสมการส่วนของไฮเปอร์โบลา  คือ    y  = 

                ให้   P(x,y)    เป็นจุดใด ๆ บนกราฟของไฮเปอร์โบลา

เพราะฉะนั้น       หรือ    b2x2 – a2y2  =  a2b2

ให้   s    เป็นระยะทางจาก    P   ไปยัง    L1

เพราะฉะนั้น                  s  =    =  

                                                =  

                                                =  

                                                =  

ให้    r    เป็นระยะทางจาก    P   ไปยังจุดกำเนิด  เพราะฉะนั้น     r  = 

ใน quadrant  ที่  1    ถ้า     r  ®       แล้ว   x ®        หรือ   y ®      

เพราะฉะนั้น                               ®      

หรือ                                          =  0

นั่นคือ    L1    เป็น   asymptote  ของไฮเปอร์โบลา

 

ทฤษฎีบท  3.17    เส้นตรงที่มีสมการเป็น      เป็นสมการเส้น   asymptote  ของไฮเปอร์โบลาที่มีสมการเป็น   

 

ค่าความยาวของลาตัสเร็กตัม   ของไฮเปอร์โบลามีค่าเท่ากับ     ซึ่งเท่ากับค่าความยาว

ของลาตัสเร็กตัม  ของไฮเปอร์โบลา 

 

สรุป  เกี่ยวกับไฮเปอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่   (0,0)

a         :  ครึ่งแกนผ่าน

                b         :  ครึ่งแกนคอนจูเกต

                c         :  ระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงโฟกัส

                e         :  ecentricity,     e  >  1

                  :  ความยาวของ  ลาตัสเร็กตัม

c2  =  a2 + b2 ,  c  >  a  >  0 ,     c  >  b  >  0 ,     e  = 

 

ถ้าแกนเอกเป็นแกน x

ถ้าแกนเอกเป็นแกน  y

สมการไฮเปอร์โบลา

จุดยอด

(-a,0),  (a,0)

(0,-a),  (0,a)

โฟกัส

(-c,0),  (c,0)

(0,-c),  (0,c)

ไดเร็กตริกซ์

x  =  -, x  = 

y  =  -, y  = 

Asymptote

 

ตัวอย่าง  3.10   จงหาครึ่งแกนผ่าน   ครึ่งแกนคอนจูเกต    eccentricity   พิกัดของโฟกัส  จุดยอด     สมการของไดเร็กตริกซ์   asymptote   ความยาวของลาตัสเร็กตัม  และวาดกราฟของไฮเปอร์โบลา       16x2 -  25y2  =  400

วิธีทำ      จัดสมการให้อยู่ในรูป  มาตรฐานได้ดังนี้  คือ

จะได้ว่า       a  =  5 ,  b  =  4

นั่นคือ   ครึ่งแกนผ่าน  เท่ากับ  5 ,   ครึ่งแกนคอนจูเกตเท่ากับ  4  

c  =   =   และ   e  = 

                โฟกัส                     (-,0) ,   (,0)

                จุดยอด                   (-5,0) ,   (5,0)

                ไดเร็กตริกซ์          x  =    ,   x  =  - 

                ความยาวของ ลาตัสเร็กตัม   = 

 

ตัวอย่าง  3.11    จงเขียนสมการไฮเปอร์โบลา  ที่แกนของไฮเปอร์โบลา เป็นแกน  x   แกน   y   และสอดคล้องกับเงื่อนไข  ดังนี้  คือ  ผ่านจุด (2,3)   และโฟกัสที่  (0,)

วิธีทำ      เนื่องจากแกนของไฮเปอร์โบลาเป็นแกน   x      แกน   y    และจุดยอดโฟกัส   (0,)  อยู่บนแกน  y

เพราะฉะนั้น แกน  y   จะเป็นแกนผ่าน   ซึ่งมีสมการรูปมาตรฐาน  คือ

กราฟของสมการไฮเปอร์โบลา  ผ่านจุด  (2,3)

หรือ                                                        9b2  -  4a2   =   a2b2

โฟกัสอยู่ที่  (0,)    นั่นคือ     c  = 

                                                c2  =  a2 + b2                    a2 + b2  =  10

หรือ                                        a2  =  10 – b2

จาก  (1)   และ  (2)  สามารถหาค่า    a,  b   ได้ดังนี้  คือ   a2  =  5 ,   b2  =  5

สมการไฮเปอร์โบลาที่ต้องการ  คือ     y2 – x2  =  5

 

นิยาม  3.6             ถ้า   asymptote   ทั้งสองเส้นของไฮเปอร์โบลาตั้งฉากซึ่งกันและกัน    เราจะเรียกไฮเปอร์โบลานั้นว่า  rectangular hyperbola

 

เนื่องจากความชันของ  asymptote    L1 , L2   ทั้งสองเส้นของไฮเปอร์โบลา  คือ       และ -

                L1  ตั้งฉากกับ    L2   ก็ต่อเมื่อ     ()(-)  =  -1    หรือ    b2  =  a2    หรือ   b  =  ± a

แต่เนื่องจาก    a  >  0    และ   b  >  0 

นั่นคือ    ไฮเปอร์โบลาจะเป็น  rectangular hyperbola   ก็ต่อเมื่อ   a  =  b

 

แบบฝึกหัด  3.7

                จงหาครึ่งแกนผ่าน   ครึ่งแกนคอนจูเกต    eccentricity    พิกัดของโฟกัส    จุดยอด     สมการของไดเร็กตริกซ์   asymptote  ความยาวของลาตัสเร็กตัม  และวาดกราฟของไฮเปอร์โบลาต่อไปนี้

1.      

2.      

3.      

4.      

5.       x2 – y2  =  36

6.       y2 – x2  =  49

7.       16x2 -  9y2  =  144

8.       16y2 – 9x2 + 576  =  0

9.       2x2 - 3y2  +  6  =  0

10.     5y2 – 4x2 =  20

จงเขียนสมการของไฮเปอร์โบลา   ที่แกนของไฮเปอร์โบลาเป็นแกน  x   แกน  y   และสอดคล้องกับเงื่อนไข       ต่อไปนี้

11.    จุดยอด  (4,0)   จุดปลายของแกนคอนจูเกต  (0,3)

12.     โฟกัส  (6,0)   จุดยอด   (4,0)

13.     โฟกัส  (5,0)   แกนคอนจูเกตยาว  4

14.         แกนคอนจูเกตยาว  6   จุดยอด  (0,7)

15.         โฟกัส  (3,0)   ความยาว  ลาตัสเร็กตัม   5

16.         จุดปลายแกนคอนจูเกต  (3,0)   ความยาว  ลาตัสเร็กตัม  10

17.         โฟกัส  (6,0)  และ eccentricity   

18.         ผ่านจุด  (6,5)  และ  (8,)

19.         ไดเร็กตริกซ์ คือ    y  =  4  ,  asymptote    y  =    x

20.         ผ่านจุด  (5,3)  , asymptote  2y  =  3x

 

 

ทฤษฎีบท  3.18   สมการของไฮเปอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางที่    C(h,k)   โฟกัสอยู่ที่   F1(h-c,k)  และ  F2(h+c,k)  เมื่อ     c  >  0  และค่าคงที่เท่ากับ   2a    ซึ่ง     2c  >  2a  >  0   คือ

 
  =  1       เมื่อ    b  =    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    รูปที่   3.26

 

พิสูจน์    (จากรูป  3.26)  จุด P(x,y)  เป็นจุดใด ๆ บนไฮเปอร์โบลา  ก็ต่อเมื่อ     ||F2P|  -  |F1P||  =  2a

หรือ     |F2P|  -  |F1P|  =  ± 2a

«   -  =   ±2a

«    -  =   ±2a

ซึ่งเหมือนกับสมการ  (3)  ในการพิสูจน์  ทฤษฎีบทที่  1   เมื่อ   x   และ   y  ใน  (3)   เป็น    x - h และ   y – k   ตามลำดับ     และใช้วิธีการพิสูจน์ทำนองเดียวกันกับ ทฤษฎีบทที่  1  เราจะได้ผลตามต้องการ

 

ทฤษฎีบท  3.19   สมการของไฮเปอร์โบลา  ที่มีจุดศูนย์กลางที่    C(h,k)   โฟกัสอยู่ที่   F1(h, k-c)  และ  F2(h, k+c)  เมื่อ     c  >  0  และค่าคงที่เท่ากับ   2a    ซึ่ง     2a  >  2c   คือ

  =  1       เมื่อ    b  =    

 

หมายเหตุ   เรียกสมการใน ทฤษฎีบท  3.18  และ  3.19  ว่า  สมการรูปมาตรฐานของไฮเปอร์โบลา 

 

ทฤษฎีบท  3.20   เส้นตรงที่มีสมการเป็น   =  0   และ      =  0  เป็นสมการเส้น  asymptote  ของไฮเปอร์โบลา  ที่มีสมการเป็น   =  1 และ      =  1    ตามลำดับ

 

สรุปเกี่ยวกับไฮเปอร์โบลา  ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่   (h,k)

a         :  ครึ่งแกนผ่าน

                b         :  ครึ่งแกนคอนจูเกต

                c         :  ระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงโฟกัส

                e         :  ecentricity,     e  >  1

                  :  ความยาวของลาตัสเร็กตัม

c2  =  a2 + b2 ,  c  >  a  >  0 ,     c  >  b  >  0 ,     e  = 

 

ถ้าแกนเอกขนานกับแกน x

ถ้าแกนเอกขนานกับแกน  y

สมการไฮเปอร์โบลา 

  =  1

  =  1

จุดยอด

(h-a,k),  (h+a,k)

(h,k-a),  (h,k+a)

โฟกัส

(h-c,k),  (h+c,k)

(h,k-c),  (h,k+c)

ไดเร็กตริกซ์

x  =  h -, x  = h +

y  =  k -, y  =  k +

Asymptote

 = 0

 = 0

 

จากสมการรูปมาตรฐานของไฮเปอร์โบลา   =  1  และ  =  1

จะเห็นว่าเป็นสมการกำลังสอง  เราสามารถเขียนใหม่ในรูปทั่วไปได้เป็น

                                Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F  =  0          เมื่อ       AC   <   0

หรือ                           x2 + Cy2 + Dx + Ey + F  =  0          เมื่อ          C   <   0

 

ทฤษฎีบท  3.21   ให้      Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F  =  0      เมื่อ     AC   <   0

เป็นสมการซึ่งสามารถเขียนอยู่ในรูป         A(x + )2 + C(y + )2  =  M      เมื่อ                      M  =  

1.    ถ้า     M   =   0    แล้ว  กราฟของสมการจะเป็นเส้นตรงสองเส้น

2.    ถ้า      M    0    แล้ว  กราฟของสมการจะเป็นไฮเปอร์โบลา  ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่   (-,-) และแกนผ่านขนานกับแกน    x     ถ้า     > 0    หรือแกนผ่านขนานกับแกน    y    ถ้า    <  0

 

ตัวอย่าง  3.12       จงจัดสมการต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน  และหาจุดศูนย์กลาง  ครึ่งแกนผ่าน  ครึ่งแกนคอนจูเกต  จุดยอด  โฟกัส   eccentricity     สมการไดเร็กตริกซ์   สมการ asymptote  ความยาวของลาตัสเร็กตัม  และวาดกราฟของสมการไฮเปอร์โบลา    

3y2 +6y –x2 +2x +11  =  0

วิธีทำ      เปรียบเทียบสมการที่กำหนดให้กับสมการรูปทั่วไป  ได้ว่า

                A  =  -1 ,   C  =  3  ,   D  =  2 ,   E  =  6 ,   F  =  11

แทนค่าใน             A(x + )2 + C(y + )2  =  M          เมื่อ         M  =  

ได้ดังนี้ คือ            -1(x – 1)2 + 3(y + 1)2  =  -1 + 3 – 11

สมการมาตรฐานเป็น            =  1

จากสมการจะเห็นว่า           จุดศูนย์กลาง  คือ    (1,-1)    

a  =  3 ,  b  =   ,     c  = 

จุดยอดอยู่ที่    (-2,-1)     และ   (4,-1)

โฟกัสอยู่ที่      (1-,-1)   และ  (1+,-1)

e  =     = 

สมการเส้นไดเร็กตริกซ์  คือ    x  =  1 -   และ   x  =  1 +

Asymptote  :         =  0

ความยาวลาตัสเร็กตัม  เท่ากับ   2

 

แบบฝึกหัด  3.8

                จงจัดสมการต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน   และหาจุดศูนย์กลาง   ครึ่งแกนผ่าน    ครึ่งแกนคอนจูเกต   จุดยอด   โฟกัส   eccentricity   สมการเส้นไดเร็กตริกซ์  สมการ asymptote     ความยาวของลาตัสเร็กตัม   และวาดกราฟของสมการไฮเปอร์โบลา  ต่อไปนี้

1.       5x2 - 4y2 - 30x - 32y  =  99

2.       2x2 - 3y2 - 8x + 6y - 1  =  0

3.       9y2 – 16x2 – 5y - 63  =  0

4.       21y2 – 4x2 + 48y  - 32x  =  64

จงเขียนสมการและวาดกราฟของไฮเปอร์โบลา    ตามเงื่อนไขต่อไปนี้

5.    จุดศูนย์กลาง  (1,3)  จุดยอด  (4,3)   และจุดปลายแกนคอนจูเกต  (1,1)

6.    จุดยอด  (0,-4   โฟกัส  (0,-5)   และ  (0,1)

7.    จุดปลายแกนผ่าน   (3,-1)   และ   (3,5)   โฟกัส  (-1,2)

8.    จุดยอด   (3,-1)   และ  (3,5)    ความยาวแกนคอนจูเกต  6

         จงสำรวจดูว่าสมการต่อไปนี้  เป็นสมการของไฮเปอร์โบลา  หรือ สมการของเส้นตรงสองเส้น

9.    5x2 – 4y2 – 20x – 24y + 4  =  0

10.   4y2 – x2 + 2x – 1  =  0

11.   9x2 – 4y2 – 18x – 24y – 27  = 0

12.   x2 – y2 – 12x + 16y – 36  =  0