วงรี  (Ellipse)

นิยาม  3.2       วงรี คือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบที่ผลบวกของระยะห่างจากจุดนั้นไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงที่   ซึ่งมากกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ทั้งสองนั้น

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่  3.14

 

                จากรูปที่ 3.14     F1,   F2    เป็นจุดคงที่สองจุด   เรียกจุดคงที่ทั้งสองจุดนี้ว่า   โฟกัสของวงรี   เรียกคอร์ดที่ผ่านโฟกัส   F1   และ   F2   ว่า  แกนเอกของวงรี (major axis)   เรียกคอร์ดที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับแกนเอกว่า   แกนโทของวงรี (minor axis) เรียกจุดตัดระหว่างแกนเอกและแกนโทว่า  จุดศูนย์กลางของวงรี   ใช้สัญลักษณ์แทนว่า   C    เรียกจุดปลายทั้งสองของแกนเอกว่า  จุดยอดของวงรี (vertex)   ใช้สัญลักษณ์แทนว่า   V1,  V2    และเรียกคอร์ดที่ผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับแกนเอกของ วงรีว่า  เลตัสเรคตัมของวงรี (latus rectum)

 

ทฤษฎีบท  3.6     สมการของวงรีที่มีโฟกัสอยู่ที่   F1(-c,0)   และ   F2(c,0)   เมื่อ   c  >  0   และ   ค่าคงที่เท่ากับ     2a     ซึ่ง    2a  > 2c    คือ

  =  1     เมื่อ   b  =   ,    0 < b < a      ……………………. (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่  3.15

 

พิสูจน์      จากรูปที่  3.15   จุด   P(x,y)   เป็นจุดใด ๆ บนวงรี  ก็ต่อเมื่อ

|F2P|   =   |F1P|                                                                                      (2)

«                           +    =  2a                                                                  (3)

 «                                 =  2a  -                                                               (4)

  ®                                 x2 – 2cx + c2 + y2   =  4a2 – 4a + x2 + 2cx + c2 + y2 (5)

«                            4a  =  4a2 + 4cx                                                                                   (6)

«                                   =  a + x                                                                                       (7)

 ®                                    x2 + 2cx + c2 + y2  =  a2 + 2cx +  x2                                                 (8)

«                                       (1 - )x2 + y2   =   a2 – c2                                                                                    (9)

«                           x2 + y2  =  b2 ,         b  =                                                                         (10)

«                                                             =  1   

จากการพิสูจน์ที่ผ่านมา  เป็นเพียงการแสดงว่า  ถ้า   P(x,y)   อยู่บนกราฟของวงรี แล้ว  จะได้ว่า

      =  1   

แต่ยังไม่เพียงพอที่จะประกันได้ว่า  จุดต่าง ๆ ที่สอดคล้องกับสมการ      =  1   

จะอยู่บนกราฟของวงรี

ต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นว่า  ถ้า  P(x,y)  เป็นจุดใด ๆ  ที่สอดคล้องกับสมการ  =  1     แล้ว จุด   P(x,y)    จะอยู่บนกราฟของวงรี

ให้     P(x,y)    เป็นจุดใด ๆ ที่สอดคล้องกับ      =  1    นั่นคือ (1)   เป็นจริง

                จากการพิสูจน์ข้างต้นจะเห็นว่า   ถ้าเราสามารถแสดงให้เห็นว่า     (8)  ®  (7)     และ       (5)  ®  (4)     แล้ว   เราจะสรุปได้ทันทีว่า   P(x,y)   อยู่บนกราฟของวงรี  ตามต้องการ

ต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นว่า    (8)  ®  (7)  

                ถ้าสมการ  (8)   เป็นจริง  จะได้ว่า

                   =   a +                                                                                       (12)

เพราะว่า  ถ้า   (x,y)   สอดคล้องกับสมการ  (1)  แล้วจะได้ว่า    -a  £  x  £  a    ซึ่งทำให้

a – c  £  a +  £  a + c                                                                                                   (13)

เพราะฉะนั้น        a  +    >  0      (เพราะว่า   a – c  >  0)

                นั่นคือ   ด้านขวาของสมการ   (12)   เป็นบวก  ซึ่งจะได้สมการ  (7)  

ต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นว่า    (5)   ®  (4) 

                ถ้าสมการ   (5)   เป็นจริงจะได้ว่า

                                  =  2a -                                                                 (14)

จากสมการ  (13)  และ  (7)   จะได้ว่า

                                a – c  £   £   a + c

ซึ่งทำให้

                                a – c  £    2a - =   a  -

นั่นคือ   ด้านขวามือของสมการ  (14)   เป็นบวก  ซึ่งจะได้สมการ  (4)   ตามต้องการ

 

ทฤษฎีบท  3.7       สมการของวงรีที่มี โฟกัสอยู่ที่    F1(0,-c)    และ  F2(0,c)   เมื่อ  c  >  0   และค่าคงที่เท่ากับ     2a     ซึ่ง     2a  >  2c    คือ            เมื่อ    b  =  ,  a  >  b   >  0

 

หมายเหตุ  เรียกสมการใน  ทฤษฎีบทที่  3.6  และ  3.7  ว่าสมการรูปมาตรฐานของวงรี

 

ทฤษฎีบท  3.8       ให้   a  >  b   >  0   และ   b  =     วงรีที่มีสมการเป็น    =  1

คือเส้นโค้งที่มีความเยื้องศูนย์กลางน้อยกว่า  1     โฟกัสที่   F2(c,0)    และไดเร็กตริกซ์    d2   มี      สมการเป็น    x  =     (หรือโฟกัสที่  F1(-c,0) )   และไดเร็กตริกซ์   d1   มีสมการเป็น  x  =  -)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่  3.16

 

พิสูจน์                    จุด     P(x,y)   อยู่บนสมการของวงรี  ก็ต่อเมื่อ

                                                  =  1

เพราะฉะนั้น                                 y2  =  b2(1 - )

                                                   |PF2|2   =   (x – c)2 + y2  =  x2 – 2cx + c2 + y2

                                                                =    x2 – 2cx + c2 + b2(1 - )

                                                                =    x2 - 2cx + c2 + b2

                                                                =    x2  - 2cx + a2   (เพราะว่า   b  =  )

                                                                =    (x2 – 2x +  )   =   (x - )2

ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง

เพราะฉะนั้น                           |PF2|    =   |x - |

ให้         =  e   เพราะฉะนั้น        |PF2|    =    e|x - |   =   e|PE|

หรือ                           =   e

จากทฤษฎีบท  3.6    ทราบว่า     a  >  c

นั่นคือ                    e   =      <   1

เนื่องจากกราฟของวงรีมีคุณสมบัติสมมาตรเมื่อเทียบกับแกน  y   ดังนั้น  การพิสูจน์ในกรณีที่  ใช้จุด   (-c,0)   เป็น  โฟกัส   และเส้นตรง    x  =  -    เป็นไดเร็กตริกซ์   จึงสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน

 

ทฤษฎีบท  3.9       ให้   a  >  b   >  0   และ   b  =     วงรีที่มีสมการเป็น  

คือเส้นโค้งที่มีความเยื้องศูนย์กลางน้อยกว่า  1     โฟกัสที่   F2(0,c)    และไดเร็กตริกซ์    d2   มี      สมการเป็น    y  =     (หรือโฟกัสที่  F1(0,-c) )   และไดเร็กตริกซ์   d1   มีสมการเป็น  y  =  -)

 

                รูปทรงของวงรีขึ้นอยู่กับค่าของ  e    ถ้าพิจารณาค่าของ   e   ตั้งแต่   0   จนถึง   1   จะเห็นว่า  

                ถ้า    e  =  0   จะทำให้    c  =  0   และ    a  =  b    นั่นหมายถึง    โฟกัสทั้งสองของวงรี  จะมาอยู่ที่จุดเดียวกัน  คือที่จุดศูนย์กลาง  และกราฟจะเป็นวงกลม

                ถ้า    e   มีค่ามากขึ้น    โฟกัสแต่ละจุดจะแยกจากจุดศูนย์กลาง  และค่า    b   จะลดลง

 

หาความยาวของลาตัสเร็กตัม    ได้ดังนี้

                แทนค่า     x  =  c    ในสมการวงรี   จะได้       y  =   -  ,

นั่นคือ   จุดปลายทั้งสองของลาตัสเร็กตัม   คือ     (c, -),  (c, )

ในทำนองเดียวกัน   ถ้าแทนค่า     x  =  -c    ในสมการวงรี  จะได้   จุดปลายทั้งสองของลาตัสเร็กตัม   อีกเส้นหนึ่ง  คือ   (-c, -),   (-c, )    และความยาวของลาตัสเร็กตัมเท่ากับ 

 

สรุปเกี่ยวกับวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่   (0,0)

a         :  ครึ่งแกนเอก

                b         :  ครึ่งแกนโท

                c         :  ระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงโฟกัส

                e         :  ecentricity,   0  <  e  <  1

                  :  ความยาวของลาตัสเร็กตัม

a2  =  b2 + c2 ,  a  >  b  >  0 ,     a  >  c  >  0 ,     e  = 

 

 

 

 

ถ้าแกนเอกเป็นแกน x

ถ้าแกนเอกเป็นแกน  y

สมการวงรี

จุดยอด

(-a,0),  (a,0)

(0,-a),  (0,a)

โฟกัส

(-c,0),  (c,0)

(0,-c),  (0,c)

ไดเร็กตริกซ์

x  =  -, x  = 

y  =  -, y  = 

 

ตัวอย่าง  3.6    จงหาครึ่งแกนเอก   ครึ่งแกนโท    eccentricity   พิกัดของโฟกัส  จุดยอด     สมการของไดเร็กตริกซ์  ความยาวของลาตัสเร็กตัม  และวาดกราฟของวงรี       9x2 + 4y2  =  36

วิธีทำ      จัดสมการให้อยู่ในรูป  มาตรฐานได้ดังนี้  คือ

จะได้ว่า   แกนเอกเป็นแกนของวงรี   a  =  3 ,  b  =  2   ดังนั้น   c  =   =   และ e  = 

นั่นคือ    ครึ่งแกนเอก         a  =  3

                ครึ่งแกโท              b  =  2

                eccentricity           e  = 

                โฟกัส                     (0,- ) ,   (0, )

                จุดยอด                   (0,-3) ,   (0,3)

                ไดเร็กตริกซ์          y  =   -  ,   y  =      

                ความยาวของ ลาตัสเร็กตัม   = 

ซึ่งมีกราฟดังนี้

 

 

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่  3.17 

 

ตัวอย่าง  3.7    จงเขียนสมการวงรี  ที่แกนของวงรีเป็นแกน  x   แกน   y   และสอดคล้องกับเงื่อนไข  ดังนี้  คือ  มีจุดยอดที่   (-4,0)     ความยาวของลาตัสเร็กตัมเท่ากับ  2

วิธีทำ      เนื่องจากจุดยอดอยู่ที่  (-4,0)   ซึ่งเป็นจุดบนแกน  x   เพราะฉะนั้น แกน  x   จะเป็นแกนเอก  และมีค่า   a  =  4

โจทย์กำหนดให้ความยาวของ ลาตัสเร็กตัม  เท่ากับ  2   นั้นคือ     =  2

แทนค่า     a  =  4   ในสมการจะได้       b  =  2      สมการวงรีที่ต้องการ  คือ     

 

แบบฝึกหัด  3.4

                จงหาครึ่งแกนเอก   ครึ่งแกนโท    eccentricity    พิกัดของโฟกัส    จุดยอด     สมการของไดเร็กตริกซ์    ความยาวของลาตัสเร็กตัม  และวาดกราฟของวงรีต่อไปนี้

1.      

2.      

3.      

4.      

5.      

6.       9x2 + 16y2  =  144

7.       4x2 + 25y2  =  100

8.       4x2 + y2  =  9

9.       x2 + 4y2  =  4

10.    3x2 + 2y2  =  6

จงเขียนสมการของวงรี   ที่แกนของวงรีเป็นแกน  x   แกน  y   และสอดคล้องกับเงื่อนไข       ต่อไปนี้

11.    จุดยอด  (4,0)   จุดปลายของแกนโท  (0,3)

12.     โฟกัส  (2,0)   จุดยอด   (5,0)

13.     โฟกัส  (0,-4)   แกนโทยาว  4

14.         แกนโทยาว  12  จุดยอด  (9,0)

15.         โฟกัส  (0,3)   ความยาวลาตัสเร็กตัม   9

16.         จุดปลายแกนโท  (0,5)   ความยาวลาตัสเร็กตัม  

17.         โฟกัส  (5,0)  และ eccentricity   

18.         ผ่านจุด  (5,3)  และ  (,7)

19.         โฟกัสอยู่บนแกน  x   และผ่านจุด   (-3,) ,   (4,)

20.         ครึ่งแกนเอกอยู่บนแกน  y   ยาว  4  หน่วย   ความยาวของลาตัสเร็กตัม 

 

 
ทฤษฎีบท  3.10   สมการของวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่    C(h,k)   โฟกัสอยู่ที่   F1(h-c,k)  และ  F2(h+c,k)  เมื่อ     c  >  0  และค่าคงที่เท่ากับ   2a    ซึ่ง     2a  >  2c   คือ

  =  1       เมื่อ    b  =    ,    0  <  b  <  a

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่  3.18

 

พิสูจน์    (จากรูปที่   3.18)   จุด   P(x,y)  เป็นจุดใด ๆ บนวงรี  ก็ต่อเมื่อ     |F2P|  +  |F1P|  =  2a

«             +  = 2a

«      +  = 2a

ซึ่งเหมือนกับสมการ  (3)  ในการพิสูจน์  ทฤษฎีบท  3.6   เมื่อ   x   และ   y  ใน  (3)   เป็น    x - h และ   y – k   ตามลำดับ     และใช้วิธีการพิสูจน์ทำนองเดียวกันกับ ทฤษฎีบทที่  1  เราจะได้ผลตามต้องการ

 

ทฤษฎีบท  3.11   สมการของวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่    C(h,k)   โฟกัสอยู่ที่   F1(h, k-c)    และ       F2(h, k+c)  เมื่อ     c  >  0  และค่าคงที่เท่ากับ   2a    ซึ่ง     2a  >  2c   คือ

  =  1       เมื่อ    b  =    ,    0  <  b  <  a

 

หมายเหตุ   เรียกสมการใน ทฤษฎีบทที่  3.10  และ  3.11  ว่า  สมการรูปมาตรฐานของวงรี

 

สรุปเกี่ยวกับวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่   (h,k)

a         :  ครึ่งแกนเอก

                b         :  ครึ่งแกนโท

                c         :  ระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงโฟกัส

                e         :  ecentricity,   0  <  e  <  1

                  :  ความยาวของ  ลาตัสเร็กตัม

a2  =  b2 + c2 ,  a  >  b  >  0 ,     a  >  c  >  0 ,     e  = 

 

 

ถ้าแกนเอกขนานกับแกน x

ถ้าแกนเอกขนานกับแกน  y

สมการวงรี

  =  1

  =  1

จุดยอด

(h-a,k),  (h+a,k)

(h,k-a),  (h,k+a)

โฟกัส

(h-c,k),  (h+c,k)

(h,k-c),  (h,k+c)

ไดเร็กตริกซ์

x  =  h -, x  = h +

y  =  k -, y  =  k +

 

จากสมการรูปมาตรฐานของวงรี    =  1  และ    =  1

จะเห็นว่าเป็นสมการกำลังสอง  เราสามารถเขียนใหม่ในรูปทั่วไปได้เป็น

                                Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F  =  0          เมื่อ       AC   >   0

หรือ                           x2 + Cy2 + Dx + Ey + F  =  0          เมื่อ          C   >   0

 

ตัวอย่าง  3.8                         จงหาจุดศูนย์กลาง  ครึ่งแกนเอก  ครึ่งแกนโท  จุดยอด  โฟกัส   eccentricity    สมการไดเร็กตริกซ์   ความยาวของลาตัสเร็กตัม  และวาดกราฟของสมการวงรี  

4x2 + 9y2 - 72x - 24y + 144  =  0

วิธีทำ                      4(y2 – 6y)  +  9(x2 – 8x)  =  - 144

                                4(y2 – 6y + 9)  +  9(x2 – 8x + 16)  =  - 144  + 36 + 144

4(y  –  3)2  +  9(x  –  4)2  =  36

จากสมการจะเห็นว่า   จุดศูนย์กลาง  คือ    (4,3)    

a  =  3 ,  b  =  2 ,     c  =   =  = 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่  3.19

จุดยอดอยู่ที่    (4,0)     และ   (4,6)

โฟกัสอยู่ที่      (4, 3-)   และ  (4, 3+)

e  =     = 

สมการเส้นไดเร็กตริกซ์  คือ    y  =  3 -   และ   y  =  3 +   

 

 
ตัวอย่าง  3.9    จงเขียนสมการวงรีที่มี โฟกัสอยู่ที่  (4,-2)  และ   (10,-2)   โดยมี  (10,-2)  เป็นจุดยอด

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่  3.20

วิธีทำ      จุดศูนย์กลาง จะเป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสทั้งสอง  คือ   (7,-2)

ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองคือ   2c  =  6    นั่นคือ   c  =  3

ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางกับจุดยอด     a  =  5

ดังนั้น                    b  =    =    =   4

แกนเอกขนานกับแกน  x     ดังนั้นสมการของวงรีที่ต้องการคือ

  =  1

 

แบบฝึกหัด  3.5

                จงจัดสมการต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน   และหาจุดศูนย์กลาง  ครึ่งแกนเอก  ครึ่งแกนโท  จุดยอด   โฟกัส   eccentricity   สมการเส้นไดเร็กตริกซ์    ความยาวของลาตัสเร็กตัม   และวาดกราของสมการวงรีต่อไปนี้

1.       16x2 + 25y2 - 160x - 200y + 400  =  0

2.       25x2 + 9y2 - 36x - 189  =  0

3.       3x2 + 2y2 - 24x + 12y + 60  =  0

4.       8x2 + 4y2 + 24x + 4y - 10  =  0

จงเขียนสมการและวาดกราฟของวงรี  ตามเงื่อนไขต่อไปนี้

5.    จุดศูนย์กลาง  (5,1)  จุดยอด  (5,4)   และจุดปลายแกนโท  (3,1)

6.    จุดยอด  (3,6)   โฟกัส  (3,-4)   และ  (3,4)

7.    จุดปลายแกนเอก   (2,-1)   และ   (-4,-1)   โฟกัส  (1,-1)

8.    จุดยอด   (-1,3)   และ  (5,3)    ความยาวแกนโท  4

9.    โฟกัส    (-4,3) ,  (4,3)    และ  ความยาวของแกนเอก  12

10.   แกนของวงรีขนานกับแกน  x,  y  และกราฟผ่านจุด  (0,1) ,  (1,-1) ,  (2,2) ,  (4,0)